ANALISI MATEMATICA I A - C
Anno accademico 2026/2027 - Docente: ANDREA ORAZIO CARUSORisultati di apprendimento attesi
L’insegnamento della disciplina denominata "Analisi Matematica I" si propone di fornire alcune nozioni su alcuni argomenti inerenti le proprietà di base delle funzioni reali di una variabile reale, precisamente: insieme dei numeri reali, insieme dei numeri complessi, concetto di funzione reale di una variabile reale e relative proprietà, nozioni di limite e di continuità, elementi di calcolo differenziale di calcolo integrale, alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie, serie numeriche.
Si sottolinea che gli obiettivi del suddetto insegnamento, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:
- Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
- Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
- Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei testi consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
- Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.
Infine, va menzionato il contributo dell'insegnamento agli obiettivi dell'Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile: fornire un’educazione di qualità, equa e inclusiva e promuovere opportunità di apprendimento permanente per tutti.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L’insegnamento di Analisi Matematica I (9 CFU) per il Corso di Laurea in Ingegneria Industriale e Gestionale prevede lezioni di teoria ed esercitazioni relative agli argomenti svolti. Le lezioni di teoria e le esercitazioni si svolgono in modalità frontale. E' previsto un minimo di 35 ore di teoria e di 60 ore di altre attività (prevalentemente esercitazioni).
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma (vedasi "Programmazione del corso") previsto e riportato nel presente Syllabus.
Prerequisiti richiesti
Padronanza dei contenuti di aritmetica, algebra, elementi di geometria euclidea piana e solida, geometria analitica, trigonometria, previsti dai programmi ministeriali delle scuole secondarie di secondo grado per i licei scientifici. Si altresì precisa che lo studente dovrà avere buona padronanza degli argomenti svolti nel corso zero: elementi di teoria degli insiemi, elementi di calcolo proposizionale, insiemi numerici: proprietà di N, Z, Q, R; dimostrazione per induzione, rappresentazione decimale dei numeri razionali ed irrazionali, formule di conversione dalla rappresentazione come frazione alla rappresentazione decimale, e viceversa, dei numeri razionali; metodi risolutivi delle equazioni e disequazioni di secondo grado passando dal completamento del quadrato; potenze, radici, logaritmi e proprietà; studio di equazioni e disequazioni mediante iniettività e monotonia; equazioni e disequazioni razionali fratte, irrazionali, col valore assoluto, trascendenti; funzioni trigonometriche, equazioni e disequazioni trigonometriche; sistemi di equazioni e disequazioni; elementi di geometria analitica, equazioni della retta nel piano, distanza tra due punti, relazioni di parallelismo e perpendicolarità tra rette, luoghi geometrici elementari.
Frequenza lezioni
Contenuti del corso
Funzioni e limiti. Funzioni, definizioni e proprietà di base: iniettività, suriettività, monotonia, funzione inversa, grafici delle funzioni elementari, funzioni inverse delle funzioni elementari. Topologia di R. Definizioni di limite di successione, successioni numeriche: definizioni di base, successioni estratte, limiti, algebra dei limiti, forme indeterminate. Limiti di funzioni, definizioni e proprietà di base, teoremi sui limiti: teorema di unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teoremi del confronto; teorema sul limite delle funzioni monotone; teorema sul limite della funzione composta; caratterizzazione sequenziale del limite di funzione (teorema ponte). Notazione di Landau, confronto tra infinitesimi e infiniti.
Funzioni continue e confronto locale. Funzioni continue. Definizione di funzione continua. Continuità delle funzioni elementari e operazioni tra funzioni continue. Punti di singolarità: singolarità eliminabile, singolarità di prima e di seconda specie. Proprietà delle funzioni continue: Teorema di esistenza degli zeri, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Iniettività e stretta monotonia per funzioni continue. Teorema di continuità della funzione inversa. Limiti notevoli. Confronto locale tra funzioni. Asintoti. Funzioni uniformemente continue.
Calcolo differenziale. Definizione di rapporto incrementale, di funzione derivabile in un punto e di funzione derivata. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di derivata prima. Legame tra continuità e derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Punti di non derivabilità. Definizione di differenziale. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale e loro conseguenze. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze (funzioni con derivata nulla su un intervallo, test di monotonia e ricerca degli estremi locali, caratterizzazione delle funzioni derivabili e strettamente monotone). Teorema di De L'Hôpital. Teorema sul limite della derivata. Limite della derivata e punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano e formula di Taylor con resto di Lagrange. Funzioni concave e funzioni convesse: definizioni di funzione concava e di funzione convessa, punti di flesso, legame tra la concavità/convessità e il segno della derivata seconda, ricerca dei punti di flesso. Criterio delle derivate successive per il riconoscimento dei punti stazionari. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
Calcolo Integrale. Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali fratte. Integrali trigonometrici. Integrali di funzioni irrazionali. Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale secondo Riemann. Integrale esteso ad un intervallo orientato. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
Equazioni differenziali ordinarie. Definizioni di base. Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti.
Serie numeriche. Definizioni di base, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica; serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche; regolarità delle serie numeriche a termini non negativi; serie resto, algebra delle serie convergenti e delle serie regolari. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice, criterio di condensazione di Cauchy, criterio di Raabe. Criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno; convergenza assoluta; serie prodotto secondo Cauchy.
Testi di riferimento
Vengono passate agli studenti delle dispense: si rimanda alla "Programmazione del corso" per i dettagli. Analogamente vengono passate delle raccolte di esercizi svolti e compiti svolti degli anni accademici precedenti, nei quali lo studente troverà esattamente le tipologie di esercizi assegnati in sede di prova scritta.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | "Funzioni" (Ore previste: Teoria 2 - Esercizi 3). | Dispensa "Funzioni": Definizione di funzione, dominio, immagine e grafico di una funzione, definizione di funzioni coincidenti, immagine e contro immagine di un sottoinsieme, restrizione di una funzione, funzioni pari e funzioni dispari, funzioni iniettive, suriettive, bigettive e loro caratterizzazione, grafici delle funzioni elementari, funzioni monotone e strettamente monotone e loro caratterizzazione, composizione di funzioni, funzione inversa e proprietà, caratterizzazione funzione inversa (S), monotonia funzione inversa, funzioni inverse delle funzioni principali, traslazioni e dilatazioni nel dominio e nell’immagine (SD), decomposizione in parti positive ed in parti pari e dispari, cardinalità di un insieme (F), cardinalità degli insiemi numerici (F). |
| 2 | "Insiemi numerici N-Z-Q" (Ore previste: Teoria 2 - Esercizi 3). | Dispensa "Insiemi numerici N-Z-Q": Numeri naturali interi e razionali (SD) e relative proprietà, principio di induzione in N, proprietà vere o false definitivamente, fattoriale, semi-fattoriale, qualche diseguaglianza notevole, caratterizzazione funzioni crescenti in N (S), N, Z e Q sono Archimedei, rappresentazione decimale dei numeri razionali e formule di inversione, non esistenza di numeri razionali il cui quadrato vale due (q² ≠2), incompletezza di Q (S), elementi di calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni e combinazioni, tutte senza ripetizione) (S), coefficiente binomiale e proprietà, binomio di Newton (S). |
| 3 | "Numeri reali" (Ore previste: Teoria 4 - Esercizi 4). | Dispensa "Numeri reali": Il campo dei numeri reali: proprietà algebriche e di ordinamento e proprietà dedotte, valore assoluto e proprietà (S), intervalli, distanza tra due punti e proprietà della distanza (S), palle aperte e palle chiuse, insiemi limitati, minoranti e maggioranti di un insieme numerico, caratterizzazione insiemi limitati (S), massimo e minimo di un insieme numerico, insiemi separati, proprietà di completezza, estremo inferiore e superiore, caratterizzazione di base della completezza (SD), caratterizzazione estremo inferiore e superiore, esistenza del numero radice di due (S), conseguenza completezza in R, conseguenza proprietà di Archimede, caratterizzazione completezza con intervalli incapsulati (SD), esistenza potenza (SD), esistenza radice (SD), esistenza logaritmo (SD), elementi di topologia in R e R*, intorni in un punto, famiglia degli intorni e proprietà, punti di accumulazioni e isolati in R ed in R*, punti interni ed esterni in R, punti di frontiera in R ed in R*, insiemi aperti e insiemi chiusi, definizione di chiusura di un insieme, caratterizzazione insiemi chiusi in R (S), sottoinsiemi densi in R, minimo e massimo relativo e assoluto. |
| 4 | "Numeri complessi" (Ore previste: Teoria 2 - Esercizi 3). | Dispensa "Numeri complessi": Il campo dei numeri complessi e sue proprietà, rappresentazione algebrica: proprietà algebriche, norma (o modulo) di un numero complesso, coniugato di un numero complesso, distanza in C, elementi di topologia in C, proprietà del modulo e proprietà del coniugato, rappresentazione trigonometrica, interpretazione geometrica della somma e del prodotto di due numeri complessi, formula di De Moivre, radici n-esime di un numero complesso, polinomi nel campo complesso, proprietà dei polinomi di variabile reale a coefficienti complessi e loro fattorizzazione in monomi irriducibili di grado al più due. |
| 5 | "Successioni numeriche e applicazioni" (Ore previste: Teoria 4 - Esercizi 4). | Dispensa "Successioni numeriche e applicazioni": Successioni a termini reali o complessi, definizione di limite in termini di intorni, successioni convergenti e successioni divergenti, successioni regolari, limitatezza successioni convergenti, unicità del limite, successioni estratte e regolarità, caratterizzazione punti di accumulazione, teorema di Bolzano-Weierstrass, successione limitata ammette estratta convergente (S), proprietà insieme limitati (S), insiemi – sequenzialmente - compatti ed equivalenza con gli insiemi chiusi e limitati, successioni di Cauchy (SD), numero “e” (SD), infinitesimi e prime proprietà (S), teorema della permanenza del segno, limitatezza successioni reciproche (S), proprietà algebriche dei limiti di successione, confronto tra limiti di successione (SD), successioni monotone, esistenza limite successioni monotone, criterio del rapporto per le successioni, dimostrazioni limiti notevoli (limiti 1, 2, 3 (SD), 4, 5, 6, 7 (SD), 8, 9, 10, 11, 12 (S), 13, 14 della dispensa), forme indeterminate. |
| 6 | "Limiti di funzioni" (Ore previste: Teoria 3 - Esercizi 5). | Dispensa "Limiti di funzioni": Definizioni varie di limite di funzione, nozione di definitivamente, unicità del limite, limitatezza locale funzioni convergenti, teorema ponte, limite funzioni composte, limite sinistro e limite destro, limite in eccesso, limite in difetto, condizione caratteristica naturale esistenza del limite, condizione caratteristica esistenza limite, condizione sufficiente per la non esistenza limite (S), criterio convergenza di Cauchy (SD), permanenza del segno, limitatezza locale funzioni reciproche, proprietà algebriche dei limiti (S), confronto tra limiti di funzioni (SD), esistenza limite funzioni monotone (SD) (solo interpretazione grafica), notazione di Landau, proprietà notazione di Landau, passaggi sui limiti notevoli con la notazione di Landau, limiti notevoli di funzioni dedotti dai limiti di successioni. |
| 7 | "Funzioni continue" (Ore previste: Teoria 2 - Esercizi 1). | Dispensa "Funzioni continue": Definizione di funzione continua in un punto isolato ed in un punto di accumulazione di un dato insieme, osservazione sulla definizione di funzione continua, teorema ponte (SD), algebra delle funzioni continue (S), classificazione delle discontinuità, teorema esistenza degli zeri, teorema esistenza valori intermedi, relazione tra iniettività e monotonia (S), discontinuità funzioni monotone (SD), condizione sufficiente per la continuità in grande (SD), continuità funzione inversa in un intervallo (SD), continuità funzione inversa in un compatto (S), teoremi di Weierstrass, funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor (S). |
| 8 | "Elementi di calcolo differenziale" (Ore previste: Teoria 6 - Esercizi 6). | Dispensa "Elementi di calcolo differenziale": Definizione di spazio tangente nel piano euclideo (F), definizione di rapporto incrementale, definizioni equivalenti di funzione derivabile in un punto, interpretazione geometrica della derivabilità, osservazioni sulla derivabilità e sulla linearizzabilità locale di una funzione, derivata e differenziale, relazione tra derivabilità e continuità, derivata destra e derivata sinistra, punti angolosi, a tangente verticale e cuspidi, prime formule sulle derivate delle funzioni elementari, algebra delle derivate, derivata funzioni composte (S), derivata della funzione reciproca e del rapporto di due funzioni, derivata funzione inversa (S), ulteriori formule sulle derivate delle funzioni elementari ed inverse, derivate successive, teorema di Fermat, teoremi equivalenti di Rolle-Cauchy-Lagrange, caratterizzazione funzioni costanti definite in un intervallo aperto ed in un intervallo qualsiasi, caratterizzazione funzioni monotone definite in un intervallo, definizione di crescenza in un punto, proprietà sui punti di estremo relativo e sui punti di crescenza e decrescenza (S) (capire interpretazione grafica), teorema di esistenza valori intermedi per la derivata (S), teoremi di de l’Hopital (SD), applicazioni del teorema di de l’Hopital ad alcuni limiti particolari e all’esistenza del limite del rapporto incrementale, definizione di funzione lipschitziana, relazione col concetto di funzione uniformemente continua (F), derivate parziali per le funzioni di due variabili (F), osservazioni preliminari al polinomio di Taylor, polinomi centrati in un dato punto, polinomio di Taylor, polinomio di Mac Laurin, definizione di contatto di ordine n ed applicazioni alla definizione di polinomio di Taylor, proposizione sul contatto di ordine n (SD), formula di Taylor col resto di Peano, formula di Taylor col resto di Lagrange (SD), formula di Taylor col resto integrale (F), approssimazioni numeriche mediante il polinomio di Taylor, sviluppo in serie di alcune funzioni elementari, ulteriori proprietà del polinomio di Taylor (F), condizioni sufficienti e/o necessarie per l’esistenza di punti di estremo relativo, funzioni convesse e funzioni concave, combinazioni convesse di due punti (S), definizioni equivalenti di convessità, definizione di punto di flesso a tangente non verticale, definizione di punto di flesso a tangente verticale, prima caratterizzazione della convessità (F), prime conseguenze della convessità (SD), convessità e continuità (SD), seconda caratterizzazione della convessità. |
| 9 | "Serie numeriche a termini reali o complessi" (Ore previste: Teoria 3 - Esercizi 10). | Dispensa "Serie numeriche a termini reali o complessi": Definizione di serie numerica a termini reali o complessi, serie numeriche regolari, serie numeriche convergenti, serie numeriche indeterminate, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, criterio di Cauchy espresso in termini delle somme parziali, resto di una serie e carattere della serie in termini del carattere di una serie resto, algebra delle serie numeriche convergenti, algebra delle serie numeriche regolari, serie numeriche a termini reali non negativi, criterio del confronto e versione asintotica, approssimazione delle somme parziali della serie armonica con il logaritmo, criterio del confronto asintotico con la serie armonica, criterio del rapporto e versione asintotica, criterio della radice e versione asintotica, criterio di Raabe-Duhamel (SD), criterio di condensazione di Cauchy (SD), definizione di assoluta convergenza e relazione con la nozione di semplice convergenza, riarrangiamento dei termini di una serie e proprietà commutativa delle serie assolutamente convergenti (SD), definizione di serie a segni alterni e criterio di Leibniz (SD), formula di sommazione per parti sulle somme finite (F), formula di sommazione per parti (F), criterio di Abel-Dirichlet (F), serie prodotto secondo Cauchy, teoremi sulla convergenza della serie prodotto (SD). |
| 10 | "Esponenziale complesso" (Ore previste: Teoria 1 - Esercizi 1). | Dispensa "Esponenziale complesso": Definizione di esponenziale complesso mediante le serie numeriche, proprietà dell’esponenziale complesso, applicazione della forma esponenziale, formule di adddizione e duplicazione ricavate mediante l’esponenziale complesso, rappresentazione delle funzioni seno e coseno in termini dell’esponenziale complesso, applicazione della formula del binomio di Newton (SD), potenze n-esime di seno e coseno (S), derivata di una funzione esponenziale nel campo complesso. |
| 11 | "Integrazione indefinita" (Ore previste: Teoria 2 - Esercizi 10). | Dispensa "Integrazione indefinita": Definizione di primitiva di una funzione e caratterizzazione delle primitive, rappresentazione delle primitive, definizione di integrale indefinito, condizione sufficiente per la non esistenza di primitive e relativo esempio di funzione non continua che ammette primitive, funzioni esprimibili mediante funzioni elementari, esempi di funzioni dotate di primitiva non esprimibile elementarmente, regole integrazione indefinita. Metodi vari di integrazione indefinita. |
| 12 | "Integrazione definita" (Ore previste: Teoria 2 - Esercizi 4). | Dispensa "Integrazione definita": Partizione di un intervallo, partizione standard, somme inferiori e superiori e loro proprietà, funzioni integrabili secondo Riemann, condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità secondo Riemann (S), somme di Riemann, ampiezza di una partizione, caratterizzazione dell’integrabilità secondo Riemann (SD), teorema della media integrale, proprietà integrale esteso, integrale definito, proprietà integrale definito, condizioni sufficienti per l’integrabilità, funzione integrale, osservazione sulla definizione di funzione integrale, lipschitzianità della funzione integrale (F), teorema di Torricelli, condizione sufficiente per l’esistenza delle primitive, teorema fondamentale del calcolo integrale e corollario, formule di integrazione definita per parti e per sostituzione, definizione varie di integrale improprio ed esempi vari, funzioni sommabili secondo Riemann, integrale nullo di funzioni a segno costante, funzioni di riferimento per l’integrabilità impropria, criterio del confronto per la sommabilità secondo Riemann, criterio del confronto asintotico per la sommabilità secondo Riemann. |
| 13 | "Equazioni differenziali" (Ore previste: Teoria 2 - Esercizi 6). | Dispensa "Equazioni differenziali": Definizione di equazione differenziale ordinaria di ordine 1 e, in forma normale, con problema di Cauchy, considerazioni geometriche al problema di Cauchy con l’equazione in forma normale, definizione di equazione differenziale ordinaria di ordine n e, in forma normale, con problema di Cauchy, equazioni differenziali a variabili separate, cenni sulle equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n, spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione differenziale ordinaria lineare di ordine n omogenea, metodi risolutivi per le equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine, e di ordine n a coefficienti costanti, metodo della variazione delle costanti. |
| 14 | NOTA BENE: Degli argomenti denotati con (SD) va studiato solamente l’enunciato, gli argomenti denotati con (F) sono facoltativi, proposti esclusivamente come approfondimento personale, e non sono oggetto di esame scritto o orale. Degli argomenti denotati con (S) chi lo desidera puo’ studiarne solamente l’enunciato: in tal caso, dichiarandolo subito in sede di prova orale, è possibile raggiungere un voto finale massimo di 27/30. Per poter raggiungere 30/30, ed eventualmente la lode, degli argomenti denotati con (S) va invece studiata anche la dimostrazione. |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prove di autovalutazione
Durante i periodi di attività formativa possono essere somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Tali prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.
L’esame di Analisi Matematica I può essere superato mediante due modalità:
Modalità 1: due prove intermedie scritte e un colloquio orale finale;
Modalità 2: una prova scritta unica e un colloquio orale finale.
Precisamente.
Modalità 1
La Modalità 1 prevede due prove (intermedie) scritte: la prima durante il periodo di sospensione didattica e la seconda a conclusione del corso; è possibile sostenere la seconda prova scritta solo se è stata superata la prima prova scritta; superate entrambe le prove scritte, lo studente dovrà sostenere il colloquio orale finale.
Prove intermedie scritte. In ciascuna prova intermedia vengono proposti quattro esercizi tra quelli già svolti a lezione, la durata è di 120 minuti; il massimo voto ottenibile in ciascuna prova scritta intermedia è 30/30; la prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30 (NOTA BENE: nella seconda prova scritta lo studio di funzione va privilegiato rispetto agli altri esercizi); ad ogni prova scritta viene assegnato una valutazione complessiva basta su un voto di massima assegnato ad ogni esercizio; ad ogni prova scritta viene assegnato il punteggio massimo se lo svolgimento è essenzialmente completo e corretto, in caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà rimodulato in base agli errori commessi; se il punteggio totalizzato fosse inferiore a 18/30 la commissione d’esame valuterà se ammettere lo studente alla prova orale con riserva (R) e potrà eventualmente richiedere lo svolgimento di qualche esercizio.
Colloquio orale. Verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Programmazione del corso”) e va effettuato prima dell'inizio del successivo periodo di lezioni secondo un calendario che verrà predisposto dalla commissione d’esame; nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nelle prove scritte e della valutazione della prova orale; qualora lo studente non superasse il colloquio orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame scritto in accordo alla successiva Modalità 2. NOTA BENE: degli argomenti denotati con (SD) va studiato solamente l’enunciato, gli argomenti denotati con (F) sono facoltativi, sono proposti esclusivamente come approfondimento personale e non sono oggetto di esame scritto o orale. Degli argomenti denotati con (S) chi lo desidera puo’ studiarne solamente l’enunciato: in tal caso, dichiarandolo subito in sede di prova orale, è possibile raggiungere un voto finale massimo di 27/30. Per poter raggiungere 30/30, ed eventualmente la lode, degli argomenti denotati con (S) va invece studiata anche la dimostrazione. Ovviamente nella determinazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere nuovamente la prova scritta.
Modalità 2
In tale modalità lo studente deve affrontare un’unica prova scritta che verte su tutti gli esercizi svolti a lezione e, se superata, lo studente dovrà sostenere il colloquio orale finale in accordo a quanto sopra descritto nel colloquio orale. Nella prova scritta vengono proposti quattro esercizi tra tutti quelli svolti a lezione, la durata è di 120 minuti; il massimo voto ottenibile è 30/30; la prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30 (NOTA BENE: nella prova scritta lo studio di funzione va privilegiato rispetto agli altri esercizi); alla prova scritta viene assegnato una valutazione complessiva basata su un voto di massima assegnato ad ogni esercizio; ad ogni prova scritta viene assegnato un punteggio massimo se lo svolgimento è essenzialmente completo e corretto, in caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà rimodulato in base agli errori commessi; se il punteggio totalizzato fosse inferiore a 18/30 la commissione d’esame valuterà se ammettere lo studente alla prova orale con riserva (R) e potrà eventualmente richiedere lo svolgimento di qualche esercizio.
Date degli Appelli.
Le date degli Appelli sono reperibili sul sito web del corso di laurea, https://www.dieei.unict.it/corsi/l-9 .
Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.
Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere, in accordo alle indicazioni di Ateneo. In tal caso, la durata delle prove scritte potrebbe essere soggetta a variazione.
Prove di autovalutazione
Durante i periodi di attività formativa possono essere somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Tali prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.
L’esame di Analisi Matematica I può essere superato mediante due modalità:
Modalità 1: due prove intermedie scritte e un colloquio orale finale;
Modalità 2: una prova scritta unica e un colloquio orale finale.
Precisamente.
Modalità 1
La Modalità 1 prevede due prove (intermedie) scritte: la prima durante il periodo di sospensione didattica e la seconda a conclusione del corso; è possibile sostenere la seconda prova scritta solo se è stata superata la prima prova scritta; superate entrambe le prove scritte, lo studente dovrà sostenere il colloquio orale finale.
Prove intermedie scritte. In ciascuna prova intermedia vengono proposti quattro esercizi tra quelli già svolti a lezione, la durata è di 120 minuti; il massimo voto ottenibile in ciascuna prova scritta intermedia è 30/30; la prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30 (NOTA BENE: nella seconda prova scritta lo studio di funzione va privilegiato rispetto agli altri esercizi); ad ogni prova scritta viene assegnato una valutazione complessiva basta su un voto di massima assegnato ad ogni esercizio; ad ogni prova scritta viene assegnato il punteggio massimo se lo svolgimento è essenzialmente completo e corretto, in caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà rimodulato in base agli errori commessi; se il punteggio totalizzato fosse inferiore a 18/30 la commissione d’esame valuterà se ammettere lo studente alla prova orale con riserva (R) e potrà eventualmente richiedere lo svolgimento di qualche esercizio.
Colloquio orale. Verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Programmazione del corso”) e va effettuato prima dell'inizio del successivo periodo di lezioni secondo un calendario che verrà predisposto dalla commissione d’esame; nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nelle prove scritte e della valutazione della prova orale; qualora lo studente non superasse il colloquio orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame scritto in accordo alla successiva Modalità 2. NOTA BENE: degli argomenti denotati con (SD) va studiato solamente l’enunciato, gli argomenti denotati con (F) sono facoltativi, sono proposti esclusivamente come approfondimento personale e non sono oggetto di esame scritto o orale. Degli argomenti denotati con (S) chi lo desidera puo’ studiarne solamente l’enunciato: in tal caso, dichiarandolo subito in sede di prova orale, è possibile raggiungere un voto finale massimo di 27/30. Per poter raggiungere 30/30, ed eventualmente la lode, degli argomenti denotati con (S) va invece studiata anche la dimostrazione. Ovviamente nella determinazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere nuovamente la prova scritta.
Modalità 2
In tale modalità lo studente deve affrontare un’unica prova scritta che verte su tutti gli esercizi svolti a lezione e, se superata, lo studente dovrà sostenere il colloquio orale finale in accordo a quanto sopra descritto nel colloquio orale. Nella prova scritta vengono proposti quattro esercizi tra tutti quelli svolti a lezione, la durata è di 120 minuti; il massimo voto ottenibile è 30/30; la prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30 (NOTA BENE: nella prova scritta lo studio di funzione va privilegiato rispetto agli altri esercizi); alla prova scritta viene assegnato una valutazione complessiva basata su un voto di massima assegnato ad ogni esercizio; ad ogni prova scritta viene assegnato un punteggio massimo se lo svolgimento è essenzialmente completo e corretto, in caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà rimodulato in base agli errori commessi; se il punteggio totalizzato fosse inferiore a 18/30 la commissione d’esame valuterà se ammettere lo studente alla prova orale con riserva (R) e potrà eventualmente richiedere lo svolgimento di qualche esercizio.
Date degli Appelli.
Le date degli Appelli sono reperibili sul sito web del corso di laurea, https://www.dieei.unict.it/corsi/l-9 .
Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.
Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere, in accordo alle indicazioni di Ateneo. In tal caso, la durata delle prove scritte potrebbe essere soggetta a variazione.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame. La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e/o lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame. Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, etc.).
Le principali tipologie di esercizi che possono essere richiesti in sede di prova scritta, o di prova orale ove previsto, relativi ai contenuti dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:
- Ricerca degli estremi di un insieme numerico.
- Esercizi sui numeri complessi (manipolazioni algebriche, scrittura di numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, determinazione delle radici n-esime di numeri complessi, rappresentazioni di luoghi geometrici nel piano di Argand-Gauss, equazioni nel campo complesso).
- Calcolo di limiti, sia mediante manipolazioni algebriche che mediante approssimazioni asintotiche polinomiali.
- Studio della continuità e della derivabilità - e calcolo di derivate - di funzioni reali di una variabile reale. Classificazione dei punti di singolarità e dei punti di non derivabilità.
- Studio di funzione e applicazioni (studio di una funzione, determinazione degli zeri, studio della monotonia e relativo grafico qualitativo: affrontando questi punti lo studente tipicamente potrebbe dovere affrontare lo studio di equazioni o disequazioni razionali fratte, irrazionali, con valore assoluto, irrazionali, trascendenti, trigonometriche).
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
- Determinazione della primitiva di una funzione verificante una condizione.
- Studio della convergenza di integrali impropri e calcolo di integrali impropri.
- Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale ordinaria.
- Determinazione dell'integrale di una equazione differenziale ordinaria verificante una condizione.
- Studio del carattere di serie numeriche.