ANALISI MATEMATICA II A - L

Il corso di Analisi Matematica II ha la finalità di fornire le conoscenze e la comprensione dei concetti matematici relativi al programma e cioè: successioni e serie di funzioni, limiti, derivate ed estremi di funzioni di più variabili, equazioni e sistemi di equazioni differenziali, teoria dell' integrazione secondoRiemann, curve e forme differenziali.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studenteapprenderà alcuni concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e dimanipolazione di oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni reali di più variabili reali.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and

understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dall'Ingegneria.

3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondireautonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

4. Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.

Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.

5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

L'insegnamento viene svolto mediante lezioni di teoria ed esercitazioni, alla lavagna. Occasionalmente potranno essere usati ausili multimediali. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

E' indispensabile padroneggiare tutti i concetti e le tipologie di esercizi di un programma di Analisi Matematica 1, e in particolare: padroneggiare i concetti di  estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme numerico, calcolare i limiti di funzioni e di successioni, riconoscere i punti di continuità delle funzioni, classificare le singolarità delle funzioni, calcolare le derivate delle funzioni, determinare i punti di minimo e di massimo delle funzioni, studiare il carattere di una serie numerica, calcolare integrali definiti ed indefiniti. E' utile

la conoscenza dei concetti elementari della teoria degli spazi vettoriali. E' importante padroneggiare le basi della geometria della geometria analitica nel piano, ed è utile conscere gli elementi basilari  della geometria analitica nello spazio tridimensionale.

1. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. (0.5 cfu- circa 7 ore). Successioni di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi di continuità, di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Serie di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Convergenza assoluta. Convergenza totale. Criterio di Weierstrass*. Confronto fra i vari tipi di convergenza. Teoremi di continuità e di integrazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema del raggio*. Teorema di Cauchy-Hadamard*. Teorema di Abel*. Proprietà della funzione somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor (derivate equilimitate). Sviluppi notevoli. Cenni sulle serie di Fourier.

2. Funzioni di più variabili. (2 cfu-circa 17 ore).Spazi euclidei. Funzioni tra spazi euclidei. Operazioni tra funzioni. Funzione composta e funzione inversa. Limiti di funzioni tra spazi euclidei. Successioni di vettori. Teoremi che caratterizzano i limiti mediante le successioni e le restrizioni*. Funzioni continue. Funzioni continue e connessione. Teorema di esistenza degli zeri. Funzioni continue e compattezza. Teorema di Heine-Borel*. Teorema di Weierstrass. Teorema di Cantor*. Funzioni lipschitziane. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie di differenziabilità. Teorema del differenziale totale*. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwartz*. Formula di Taylor al primo e al secondo ordine. Teorema del gradiente nullo. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica*. Condizione necessaria del secondo ordine*. Condizioni sufficienti del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti.

3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. (2 cfu-circa 17 ore). Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi*. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il problema di Cauchy*. Condizione sufficiente per la lipschitzianità. Sistemi lineari. Globalità della soluzione di un sistema lineare. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di Lagrange*. Sistemi lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni nel caso di autovalori semplici. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore. Risoluzione di alcuni tipi particolari di equazioni differenziali non lineari: equazioni a variabili separabili; equazioni omogenee; equazioni lineari del primo ordine; equazioni di Bernoulli.

4. MISURA E INTEGRAZIONE. (1 cfu-circa 9 ore). Cenni sulla teoria della misura secondo Peano-Jordan in R^n. Cenni sulla teoria dell'integrazione secondo Riemann in R^n. Integrabilità delle funzioni limitate. Teorema della media. Formule di riduzione per gli integrali doppi e tripli. Cambiamenti di variabili negli integrali*. Coordinate polari nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

5. CURVE E FORME DIFFERENZIALI. (0.5 cfu-circa 8 ore). Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari. Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè . Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi *. 

Le dimostrazioni degli argomenti contrassegnati da asterico possono essere omesse.

1. Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 2, Monduzzi Editoriale.

2. Pagani C.D., Salsa S., Analisi Matematica 1, Zanichelli , seconda edizione, 2015

3 Pagani C.D., S. Salsa S., Analisi Matematica 2, Zanichelli , seconda edizione, 2016

4. Fanciullo M. S., Giacobbe A., Raciti F., Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical Books.

L'esame consiste in una prova scritta e in una facoltativa prova orale. La prova scritta consta di due partied ha la durata di due ore. Nella prima parte si assegnano due definizioni e due quesiti teorici. Nella seconda parte si assegnano 3 esercizi. Requisiti minimi per il superamento della prova scritta: dare una delle due definizioni, risolvere uno dei due quesiti teorici, svolgere correttamente uno dei tre esercizi. Il voto massimo conseguibile, qualora si svolgessero correttamente tutti i quesiti presenti, sarà 26/30.

Superato l'esame scritto, la materia può essere registrata (con il voto dello scritto) oppure si puòsostenere un esame orale su tutto il programma svolto a lezione. L'esame orale permette di aumentare il voto ottenuto con la prova scritta, ma potrebbe anche determinare una diminuzione dello stesso e nel

caso in cui non si risponda, in maniera precisa e corretta, ad alcuna delle domande poste può portare all'annullamento del risultato acquisito nella prova scritta, con conseguente necessità di ripetere la stessa prova.

I teoremi oggetto del compito scritto verranno scelti dalla lista seguente:

Elenco dei Teoremi per il compito scritto (A.A. 2026-2027)

1)    Le forme differenziali C^1 esatte sono chiuse (con controesempio)  (cfr. per esempio, Pagani-Salsa vol. 2, proposizione 2.5 , esempio 2.8)

2)    Teorema di Weierstrass

3)    Esattezza di una forma differenziale chiusa in un aperto stellato (cfr. per esempio, Pagani-Salsa vol. 2, teorema 2.6)

4)    Struttura dell’insieme delle soluzioni di una equazione differenziale lineare (completa) di ordine n (vedere, per esempio, il teorema relativo negli appunti su Studium sul problema di Cauchy e  le equazioni lineari)

5)    Teorema di esistenza degli zeri (vedi per esempio gli appunti su Studium)

6)    Esistenza e formula della derivata direzionale di una funzione differenziabile (vedi, per esempio, Pagani-Salsa 1, cap. 7, teorema 1.1, parte i) )

7)    Condizione sufficiente  del secondo ordine per un punto di estremo relativo (vedi, per esempio, Pagani-Salsa 2, cap. 2, teorema 1.9)

8)    Teorema di Fermat (condizione necessaria del primo ordine per un punto di estremo relativo) (vedi per esempio, Pagani-Salsa 2, cap. 2 teorema 1.1)

9)    Esistenza di n integrali indipendenti di una equazione differenziale lineare omogenea di ordine n  (vedere per esempio, il teorema relativo negli appunti su Studium sul problema di Cauchy e  le equazioni lineari).

10)  Metodo dei minimi quadrati (vedi per esempio, Pagani-Salsa 2, cap. 2, esempio 1.12, oppure i primi due paragrafi della dispensa su Studium, “best fit”, con più dettagli)

N.B. Le dimostrazioni  dei teoremi  possono essere prese da fonti diverse da quelle descritte sopra, ma lo studente, se richiesto, è tenuto a mostrare la fonte.

Si raccomanda di scrivere nell’elaborato ogni dettaglio necessario per la comprensione e di chiarire ogni simbolo usato.

Per partecipare alle prove scritte e all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.

Raggio di convergenza per una serie di potenze.

Teorema di esistenza degli zeri.

Teorema del gradiente nullo.

Definizione di integrale doppio.

Lo studente potrà reperire esempi di esercizi  svolti su Studium/Moodle.