ANALISI MATEMATICA II A - L

Il corso di Analisi Matematica II ha la finalità di fornire le conoscenze e la comprensione dei concetti

matematici relativi al programma e cioè: successioni e serie di funzioni, limiti, derivate ed estremi di

funzioni di più variabili, equazioni e sistemi di equazioni differenziali, teoria dell' integrazione secondo

Lebesgue, curve e forme differenziali.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente

apprenderà alcuni concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di

manipolazione di oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, i limiti, le derivate e gli integrali per le

funzioni reali di più variabili reali.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and

understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi

basilari di modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dall'Ingegneria.

3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire

autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà

fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in

modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

4. Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri

consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.

Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e

chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.

5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento

del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni

guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti

necessari per la loro comprensione.

L'insegnamento viene svolto mediante lezioni di teoria ed esercitazioni, alla lavagna. Occasionalmente

potranno essere usati ausili multimediali. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a

distanza potranno essere introdotte le

necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma

previsto e riportato nel Syllabus.

E' indispensabile padroneggiare tutti i concetti e le tipologie di esercizi di un programma di Analisi

Matematica 1, e in particolare: calcolare l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme numerico,

calcolare i limiti di funzioni e di successioni, riconoscere i punti di continuità delle funzioni, classificare le

singolarità delle funzioni, calcolare le derivate delle funzioni, determinare i punti di minimo e di massimo

delle funzioni, studiare il carattere di una serie numerica, calcolare integrali definiti ed indefiniti. E' utile

la conoscenza dei concetti elementari della teoria degli spazi vettoriali. E' importante padroneggiare le

basi della geometria della geometria analitica nel piano, ed è utile conscere gli elementi di geometria

analitica nello spazio tridimensionale.

1. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. (2 cfu). Successioni di funzioni reali di variabile reale.

Convergenza

puntuale ed uniforme. Caratterizzazione della convergenza uniforme mediante la successione degli

estremi superiori. Criterio di convergenza puntuale ed uniforme di Cauchy. Teoremi dello scambio

dei

limiti*, di continuità, di derivabilità*, di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Serie di

funzioni reali

di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta e

totale.

Teorema di Weierstrass. Confronto fra i vari tipi di convergenza. Teoremi di continuità, derivabilità

e di

integrazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema del raggio. Teorema di

Cauchy-

Hadamard*. Teorema di Abel*. Proprietà della funzione somma di una serie di potenze. Serie di

Taylor.

Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli. Serie di Fourier. Condizioni

sufficienti

per la convergenza delle serie di Fourier*

2. FUNZIONI DI PIU' VARIABILI. (2 cfu). Spazi euclidei. Funzioni tra spazi euclidei. Operazioni tra

funzioni.

Funzione composta e funzione inversa. Limiti di funzioni tra spazi euclidei. Successioni di vettori.

Teoremi che caratterizzano i limiti mediante le successioni e le restrizioni. Funzioni continue.

Funzioni continue e connessione. Teorema di esistenza degli zeri. Funzioni continue e compattezza.

Teorema di Heine-Borel*.Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di

Cantor*. Funzioni lipschitziane. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari. Funzioni

differenziabili. Condizioni necessarie di differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivate e

differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e

differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz*. Formula di Taylor al primo e al secondo

ordine. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero*.

Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme

quadratiche. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica*. Condizione necessaria del

secondo ordine. Condizioni sufficienti del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti. Funzioni

definite implicitamente (per funzioni scalari di due variabili). Teorema di U. Dini (per funzioni scalari

di due variabili). Funzioni definite implicitamente (per funzioni scalari di n+1 variabili). Teorema di

U. Dini (per funzioni scalari di n+1 variabili)*.Funzioni definite implicitamente (caso vettoriale).

Teorema di U. Dini (caso vettoriale)*.

3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. (2 cfu). Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n

equazioni

differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi.

Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande

per il

problema di Cauchy*. Condizione sufficiente per la lipschitzianeità. Sistemi lineari. Globalità della

soluzione di un sistema lineare. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo

di

Lagrange. Sistemi lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni

nel

caso di autovalori semplici. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore. Equazione di Eulero.

Risoluzione di alcuni tipi particolari di equazioni differenziali non lineari: equazioni a variabili

separabili;equazioni omogenee; equazioni lineari del primo ordine; equazioni di Bernoulli.

4. MISURA E INTEGRAZIONE. (2 cfu). Cenni sulla teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura

elementare degli intervalli e dei pluriintervalli. Misura degli aperti limitati e dei compatti. Nozione di

misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: numerabile additività*,

monotonia,

continuità verso l'alto*, verso il basso*, sottrattività Completezza della misura. Funzioni misurabili.

Cenni

sulla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n: Integrazione delle funzioni limitate negli

insiemi

misurabili di misura finita. Teorema della media. Integrazione di arbitrarie funzioni misurabili

definite in

insiemi misurabili. Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite

sotto il

segno di integrale. Teoremi di B.Levi*, e di Lebesgue*. Integrazione per serie. Teorema di

invadenza.

Teorema di derivazione sotto il segno di integrale*. Teoremi di Fubini* e di Tonelli*. Formule di

riduzione

per gli integrali doppi e tripli. Cambiamenti di variabili negli integrali*. Omotetia in R^n. Coordinate

polari

nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

5. CURVE E FORME DIFFERENZIALI. (1 cfu). Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan.

Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari. Cambi di parametrizzazione. Curve

rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari*. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Definizione di

Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali

esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali

chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè *. Insiemi semplicemente connessi. Criterio di

integrabilità in insiemi semplicemente connessi *. Domini regolari. Formule di Gauss Green *.

Equazioni differenziali esatte.

N.B: Per i teoremi seguiti da asterisco non è richiesta la dimostrazione.

1. Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 2, Monduzzi Editoriale.

2. Bramanti M., Pagani C.D., Salsa S., Analisi Matematica 2, Zanichelli.

3. Pagani C.D., Salsa S., Analisi Matematica 1, Zanichelli , seconda edizione, 2015

4. Pagani C.D., S. Salsa S., Analisi Matematica 2, Zanichelli , seconda edizione, 2016

5. Fanciullo M. S., Giacobbe A., Raciti F., Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical Books.

6. D'Apice C., Durante T., Manzo R., Verso l'esame di Matematica 2, Maggioli editore.

7. D'Apice C., Manzo R., Verso l'esame di Matematica 3, Maggioli editore.

L'esame consiste in una prova scritta e in una facoltativa prova orale. La prova scritta consta di due parti

ed ha la durata di due ore. Nella prima parte si assegnano due definizioni e due quesiti teorici. Nella

seconda parte si assegnano 3 esercizi. Requisiti minimi per il superamento della prova scritta: dare una

delle due definizioni, risolvere uno dei due quesiti teorici, svolgere correttamente uno dei tre esercizi. Il

voto massimo conseguibile, qualora si svolgessero correttamente tutti i quesiti presenti, sarà 26/30.

Superato l'esame scritto, la materia può essere registrata (con il voto dello scritto) oppure si può

sostenere un esame orale su tutto il programma svolto a lezione. L'esame orale permette di aumentare il

voto ottenuto con la prova scritta, ma potrebbe anche determinare una diminuzione dello stesso e nel

caso in cui non si risponda, in maniera precisa e corretta, ad alcuna delle domande poste può portare

all'annullamento del risultato acquisito nella prova scritta, con conseguente necessità di ripetere la

stessa prova.

Raggio di convergenza per una serie di potenze.

Teorema di esistenza degli zeri.

Teorema del gradiente nullo.

Definizione di integrale doppio.

Lo studente potrà reperire esempi di esercizi su Studium.