ANALISI MATEMATICA II - canale 1

Lo studente acquisirà le principali nozioni del calcolo differenziale e del calcolo integrale per le funzioni reali di più variabili reali nonchè la capacità di applicarle alla risoluzione di problemi derivanti da altre scienze. Lo studente vedrà innanzitutto come concetti e risultati già noti dal corso di Analisi Matematica I possano essere estesi, con opportune modifiche quando necessario, a situazioni più generali e astratte; in questo modo si cercherà di sviluppare la capacità di astrazione del discente. Quindi si cercherà di applicare le definizioni, i risultati e le tecniche così ottenuti a casi particolari, in modo da illustrare come dal caso generale si possa passare al caso particolare, dimostrando che le astrazioni fatte non sono solo un mero esercizio teorico, ma hanno sempre notevoli ricadute pratiche che permettono di risolvere anche problemi apparentemente "lontani e differenti". Si cercherà così di stimolare nel discente lo sviluppo della capacità di astrazione rigorosa e nel contempo di sintesi critica.Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà condotto a riflettere sulle nozioni considerate, in modo da riuscire ad isolare gli aspetti peculiari di un problema in vista, anche, dell'applicazione ad altre questioni che presentano analogie con il problema in esame. Si cercherà di abituare il discente a costruire modelli matematici di varie situazioni concrete ed ad applicare le nozioni studiate per un loro studio analitico.Attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura del libro di testo (ed eventualmente di altri libri indicati dal docente) lo studente familiarizzerà con il linguaggio matematico imparando così che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per poter comunicare scienza. Lo studente verrà guidato a perfezionare il corretto metodo di studio che dovrebbe già aver appreso nei corsi del primo anno. Ciò gli permetterà di accostarsi ad un argomento nuovo anche autonomamente. Continuerà a sviluppare, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.

Conoscenza non superficiale degli argomenti di base di Analisi Matematica 1, di Algebra Lineare e di Geometria Analitica del Piano e dello Spazio

Fortemente consigliata

1. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Caratterizzazione della convergenza uniforme mediante la successione degli estremi superiori. Criterio di convergenza puntuale ed uniforme di Cauchy. Teoremi dello scambio dei limiti, di continuità, di derivabilità, di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Serie di funzioni reali di variabile reale. Convergenza puntuale ed uniforme. Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta e totale. Teorema di Weierstrass. Confronto fra i vari tipi di convergenza. Teoremi di continuità, derivabilità e di integrazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema del raggio. Criteri per la determinazione del raggio di convergenza. Teorema di Abel. Proprietà della funzione somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli. Serie di Fourier. Condizioni sufficienti per la convergenza delle serie di Fourier.

2. SPAZI METRICI.CALCOLO DIFFERENZIALE IN R^n. Spazi metrici. Intorni di punti. Insiemi aperti, chiusi ed altre nozioni topologiche. Compattezza e connessione in spazi metrici. Funzioni continue fra spazi metrici. Teoremi di Weierstrass, di Cantor-Heine, di Esistenza degli zeri e dei Valori Intermedi. Spazi euclidei. Applicazione delle precedenti nozioni e dei precedenti risultati al caso di spazi euclidei. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari. Gradiente. Funzioni dfferenziabili secondo Gateaux e secondo Frechet. Teorema del differenziale totale. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor al primo e al secondo ordine. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizioni sufficienti del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti. Funzioni definite implicitamente. Teorema di U. Dini. Estremi vincolati e Teorema del Moltiplicatore di Lagrange. Condizione sufficiente per la ricerca degli estremi vincolati.

3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il problema di Cauchy. Condizione sufficiente per la lipschitzianeità. Sistemi lineari. Globalità della soluzione di un sistema lineare. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di Lagrange. Sistemi lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali linesari. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali non lineari: equazioni a variabili separabili, equazioni omogene, equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero.

4. MISURA E INTEGRAZIONE. Cenni sulla teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura elementare degli intervalli e dei plurintervalli. Misura degli aperti limitati e dei chiusi limitati. Nozione di misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: numerabile additività, monotonia, continuità verso l'alto, verso il basso, sottrattività Completezza della misura. Funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili.Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n Proprietà dell'integrale di Lebesgue e confronto con l'integrale di Riemann.Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teoremi di B.Levi e di Lebesgue. Integrazione per serie. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Formule di riduzione per gli integrali doppi e tripli. Cambiamenti di variabili negli integrali. Omotetia in R^n. Coordinate polari nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

5. CURVE E SUPERFICI. Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari. Retta tangente e significato geometrico della differenziabilità secondo Frechet (esistenza dell'iperpiano tangente al grafico). Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè. Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi. Domini a connessione multipla e domini regolari. Formule di Gauss Green. Equazioni differenziali esatte. Superfici regolari e regolari a pezzi. Superfici orientabili. Integrali di superficie. Teoremi principali del calcolo vettoriale.

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Foxwell and Davies Italia 2004 (chiedere al docente per la reperibilità del testo)

E' anche possibile consultare il sito internet del docente all'indirizzo http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/ per un elenco esteso di testi di esercitazioni e compiti di anni accademici precedenti

L'esame consiste in un esame scritto ed in un esame orale facoltativo.

L'esame scritto consta di tre parti. Nella prima si chiede di enunciare due definizioni e di enunciare e dimostrare due teoremi fra quelli esposti a lezione (si veda il diario delle lezioni che viene aggiornato settimanalmente nel corso del periodo didattico relativo). E' necessario dare correttamente le due definizioni ed enunciare e dimostrare correttamente almeno uno dei teoremi. Nella seconda parte vengono assegnati quattro esercizi; bisogna risolverne, in maniera corretta e completa, almeno due. In questo modo sarà acquisito un punteggio non superiore a 23. Nella terza parte verranno assegnati due esercizi, almeno uno dei quali deve essere risolto in modo corretto e completo per poter incrementare il voto, fino ad un massimo di 26.

Superato l'esame scritto, la materia può essere registrata (con il voto dello scritto) oppure si può sostenere un esame orale su tutto il programma svolto a lezione. L'esame orale permette di aumentare il voto ottenuto con la prova scritta, ma potrebbe anche determinare una diminuzione dello stesso e nel caso in cui non si risponda, in maniera precisa e corretta, ad alcuna delle domande poste può portare all'annullamento del risultato acquisito nella prova scritta, con conseguente necessità di ripetere la stessa prova

Si veda il sito del docente, all'indirizzo http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/ , per consultare copia di compiti assegnati in precedenti anni accademici