ANALISI MATEMATICA I

Modulo MODULO B

L’insegnamento di Analisi Matematica I - Modulo B ha la finalità di fornire le conoscenze di base sul Calcolo Integrale per funzioni reali di una variabile reale, su alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie e sulle serie numeriche.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale, le serie numeriche e alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

L’insegnamento di Analisi Matematica I (12 CFU) per il Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica si articola in due moduli: Analisi Matematica I – Modulo A (6 CFU) e Analisi Matematica I – Modulo B (6 CFU).

Sono previste lezioni di teoria ed esercitazioni relative agli argomenti svolti. Le lezioni di teoria e le esercitazioni si svolgeranno in modalità frontale.

Relativamente al Modulo B dell’insegnamento, sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Padronanza dei contenuti di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria usualmente trattati nelle Scuole Medie Superiori e dei contenuti trattati nel Modulo A.

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria (si veda il Regolamento Didattico del Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica) ma è fortemente consigliata.

Le dimostrazioni degli argomenti contrassegnati con un asterisco non sono richieste in sede d’esame.

1. Calcolo Integrale
• Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali fratte. Integrali trigonometrici. Integrali di funzioni irrazionali.
• Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale secondo Riemann*. Integrale esteso ad un intervallo orientato. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale.
• Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
2. Equazioni differenziali ordinarie.
• Definizioni di base. 
• Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti.
3. Serie numeriche.
• Definizioni di base. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche. Criteri di convergenza per tutte le serie numeriche: aggiunta, eliminazione e modifica di un numero finito di termini di una serie numerica*, algebra delle serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, regolarità delle serie numeriche a termini non negativi.
• Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice. Un criterio di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy* e sue applicazioni allo studio della serie armonica generalizzata e della serie di Bertrand. Criterio di Maclaurin e sue applicazioni.
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz e suoi corollari.
• Criterio della convergenza assoluta.

Contributo dell'insegnamento agli obiettivi dell'Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile:

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità:

Modalità 1: prove intermedie scritte e prova orale;

Modalità 2: una prova scritta e una prova orale.

Segue la descrizione delle modalità d’esame.

Modalità 1: 

La Modalità 1 prevede due prove intermedie scritte: la prima a conclusione del Modulo A, la seconda a conclusione del Modulo B. È possibile sostenere la prova scritta relativa al Modulo B solo se è stata superata la prova scritta relativa al modulo A. Superate entrambe le prove intermedie scritte, lo Studente dovrà sostenere una prova orale.

Date delle prove intermedie scritte.

È prevista una data utile per la prova intermedia scritta relativa al Modulo A al termine del primo periodo didattico e una data utile per la prova intermedia scritta relativa al Modulo B al termine del secondo periodo didattico. Le date delle suddette prove intermedie sono reperibili sul sito web del corso di laurea.

Struttura delle prove intermedie scritte.

In ciascuna prova intermedia verranno proposti tre esercizi e la durata è di 90 minuti. 

Valutazione delle prove intermedie scritte.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. La prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio. Il punteggio massimo verrà assegnato se lo svolgimento è corretto, in caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà determinato in base agli errori commessi. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, la Commissione d’Esame potrà ammettere lo studente alla prova orale con riserva e potrà richiedere preliminarmente lo svolgimento di qualche esercizio

Prova orale.

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B) e va effettuata in occasione del primo Appello della Seconda Sessione d’Esami secondo un calendario che verrà predisposto dalla Commissione d’Esame.

Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame ex novo, seguendo la Modalità 2.

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale

In tale modalità, viene proposta un’unica prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, se superata, lo studente dovrà sostenere una prova orale. Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea. 

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti quattro esercizi e la sua durata è di 120 minuti. 

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30.  Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio.  A ciascun esercizio verrà attribuito il punteggio massimo previsto se e solo se lo svolgimento è corretto. In caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà determinato in base agli errori commessi. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, la Commissione d’Esame potrà ammettere lo studente alla prova orale con riserva e potrà richiedere preliminarmente lo svolgimento di qualche esercizio.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B).

Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame ex novo, sostenendo nuovamente la prova scritta.

Criteri per l’assegnazione del voto finale.

• NON SUPERATO: lo studente dimostra una conoscenza scarsa e frammentaria della materia, manifesta gravi errori di comprensione e non espone in maniera accettabile i contenuti della materia;
• 18-21: lo studente dimostra una limitata conoscenza e una basilare comprensione della materia, espone in modo poco chiaro e con poca precisione;
• 22-24: lo studente dimostra un'accettabile conoscenza e un'essenziale comprensione della materia, espone in maniera corretta ma non totalmente strutturata;
• 25-27: lo studente dimostra un'ampia conoscenza e una comprensione adeguata della materia, espone in maniera corretta ma non completa;
• 28-29: lo studente dimostra una conoscenza approfondita e una solida comprensione della materia, espone in maniera chiara e strutturata;
• 30-30 e lode: lo studente dimostra una conoscenza completa e dettagliata e una comprensione eccellente della materia, espone in maniera chiara e strutturata.

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.

La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.

Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina, l’esposizione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo B dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
• Determinazione della primitiva di una funzione verificante una condizione.
• Studio della convergenza di integrali impropri e calcolo di integrali impropri.
• Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale ordinaria.
• Determinazione dell'integrale di una equazione differenziale ordinaria verificante una condizione.
• Studio del carattere di serie numeriche.