ANALISI MATEMATICA I

Modulo MODULO A

L’insegnamento di Analisi Matematica I - Modulo A ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi, sul concetto di funzione reale di una variabile e reale e relative proprietà, sulle nozioni di limite e di continuità e sul Calcolo Differenziale per funzioni reali di una variabile reale.

In particolare, gli obiettivi del suddetto insegnamento, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei testi consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

L’insegnamento di Analisi Matematica I (12 CFU) per il Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica si articola in due moduli: Analisi Matematica I – Modulo A (6 CFU) e Analisi Matematica I – Modulo B (6 CFU).

Sono previste lezioni di teoria ed esercitazioni relative agli argomenti svolti. Le lezioni di teoria e le esercitazioni si svolgeranno in modalità frontale.

Relativamente al Modulo A dell’insegnamento, sono previste 35 ore di teoria e 15 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Padronanza dei contenuti di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria usualmente trattati nelle Scuole Medie Superiori.  

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria (si veda il Regolamento Didattico del Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica) ma è fortemente consigliata.

Le dimostrazioni degli argomenti contrassegnati con un asterisco non sono richieste in sede d’esame.

1. Insiemi numerici. 
• Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Generalità sull'insieme N dei numeri naturali, sull'insieme Z dei numeri interi e sull'insieme Q dei numeri razionali*. L'insieme R dei numeri reali. Estremi di un insieme numerico. Proprietà di Archimede*. Densità di Q e di R-Q in R*. Potenze con esponente reale*.
• Numeri complessi. Definizioni di base. Ordinamento totale. Coordinate polari nel piano. Forma trigonometrica di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma trigonometrica. Forma esponenziale di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso. Equazioni algebriche*.
2. Funzioni e limiti. 
• Funzioni. Definizioni di base sulle funzioni e loro proprietà. Funzioni elementari.
• Limiti. Topologia di R. Definizioni di limite. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teoremi sui limiti: teorema di unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teoremi del confronto. Teorema sul limite delle funzioni monotone*. Teorema sul limite della funzione composta*. Successioni numeriche: definizioni di base, limiti, caratterizzazione sequenziale del limite di funzione (teorema ponte)*, successioni estratte.
3. Funzioni continue e confronto locale.
• Funzioni continue. Definizione di funzione continua. Continuità delle funzioni elementari e operazioni tra funzioni continue. Punti di singolarità: singolarità eliminabile, singolarità di prima e di seconda specie. Proprietà delle funzioni continue: Teorema di esistenza degli zeri, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Iniettività e stretta monotonia per funzioni continue. Teorema di continuità della funzione inversa*. Limiti notevoli.
• Confronto locale tra funzioni. Simboli di Bachmann-Landau, confronto tra infinitesimi e infiniti. Asintoti.
• Funzioni uniformemente continue*.
4. Calcolo differenziale.
• Definizione di rapporto incrementale, di funzione derivabile in un punto e di funzione derivata. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di derivata prima. Legame tra continuità e derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Punti di non derivabilità. Definizione di differenziale. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. 
• Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale e loro conseguenze. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze (funzioni con derivata nulla su un intervallo, test di monotonia e ricerca degli estremi locali, caratterizzazione delle funzioni derivabili e strettamente monotone). Teorema di De L'Hôpital*. Teorema sul limite della derivata. Limite della derivata e punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano e formula di Taylor con resto di Lagrange*. Funzioni concave e funzioni convesse: definizioni di funzione concava e di funzione convessa, punti di flesso, legame tra la concavità/convessità e il segno della derivata seconda, ricerca dei punti di flesso. Criterio delle derivate successive per il riconoscimento dei punti stazionari. Studio qualitativo del grafico di una funzione.

Contributo dell'insegnamento agli obiettivi dell'Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile:

GOAL 4: Istruzione di qualità. Fornire un’educazione di qualità, equa e inclusiva, promuovere opportunità di apprendimento permanente per tutti.

• Testi consigliati per la Teoria:

[T1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[T2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[T3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

• Testi consigliati per gli Esercizi:

[E1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[E2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[E3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

[E4] C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 1, Maggioli Editore (2015).

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità:

Modalità 1: prove intermedie scritte e prova orale;

Modalità 2: una prova scritta e una prova orale.

Segue la descrizione delle modalità d’esame.

Modalità 1: 

La Modalità 1 prevede due prove intermedie scritte: la prima a conclusione del Modulo A, la seconda a conclusione del Modulo B. È possibile sostenere la prova scritta relativa al Modulo B solo se è stata superata la prova scritta relativa al modulo A. Superate entrambe le prove intermedie scritte, lo Studente dovrà sostenere una prova orale.

Date delle prove intermedie scritte.

È prevista una data utile per la prova intermedia scritta relativa al Modulo A al termine del primo periodo didattico e una data utile per la prova intermedia scritta relativa al Modulo B al termine del secondo periodo didattico. Le date delle suddette prove intermedie sono reperibili sul sito web del corso di laurea.

Struttura delle prove intermedie scritte.

In ciascuna prova intermedia verranno proposti tre esercizi e la durata è di 90 minuti. 

Valutazione delle prove intermedie scritte.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. La prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio. Il punteggio massimo verrà assegnato se lo svolgimento è corretto, in caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà determinato in base agli errori commessi. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, la Commissione d’Esame potrà ammettere lo studente alla prova orale con riserva e potrà richiedere preliminarmente lo svolgimento di qualche esercizio

Prova orale.

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B) e va effettuata in occasione del primo Appello della Seconda Sessione d’Esami secondo un calendario che verrà predisposto dalla Commissione d’Esame.

Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame ex novo, seguendo la Modalità 2.

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale

In tale modalità, viene proposta un’unica prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, se superata, lo studente dovrà sostenere una prova orale. Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea. 

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti quattro esercizi e la sua durata è di 120 minuti. 

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30.  Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio.  A ciascun esercizio verrà attribuito il punteggio massimo previsto se e solo se lo svolgimento è corretto. In caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà determinato in base agli errori commessi. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, la Commissione d’Esame potrà ammettere lo studente alla prova orale con riserva e potrà richiedere preliminarmente lo svolgimento di qualche esercizio.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B).

Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame ex novo, sostenendo nuovamente la prova scritta.

Criteri per l’assegnazione del voto finale.

Tramite le prove scritte e la prova orale si esaminerà la comprensione degli argomenti oggetto dell'insegnamento e la relativa proprietà di linguaggio. Condizione necessaria per il superamento dell'esame è l'esposizione compiuta e corretta di definizioni, enunciati ed esempi. La verifica dell'acquisizione dei contenuti verte anche sulle dimostrazioni dei teoremi, laddove previste.

Il voto finale è espresso in trentesimi in accordo al seguente prospetto:

·       NON SUPERATO (<18): lo studente dimostra una conoscenza scarsa e frammentaria della materia, manifesta gravi errori di comprensione e non espone in maniera accettabile i contenuti della materia;

·       18-21: lo studente dimostra una limitata conoscenza e una basilare comprensione della materia, espone in modo poco chiaro e con poca precisione;

·       22-24: lo studente dimostra un'accettabile conoscenza e un'essenziale comprensione della materia, espone in maniera corretta ma non totalmente strutturata;

·       25-27: lo studente dimostra un'ampia conoscenza e una comprensione adeguata della materia, espone in maniera corretta ma non completa;

·       28-29: lo studente dimostra una conoscenza approfondita e una solida comprensione della materia, espone in maniera chiara e strutturata;

·       30-30 e lode: lo studente dimostra una conoscenza completa e dettagliata e una comprensione eccellente della materia, espone in maniera chiara e strutturata.

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo A dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Ricerca degli estremi di un insieme numerico.
• Esercizi sui numeri complessi (manipolazioni algebriche, scrittura di numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, determinazione delle radici n-esime di numeri complessi, rappresentazioni di luoghi geometrici nel piano di Argand-Gauss, equazioni nel campo complesso).
• Calcolo di limiti.
• Studio della continuità e della derivabilità - e calcolo di derivate - di funzioni reali di una variabile reale. Classificazione dei punti di singolarità e dei punti di non derivabilità. 
• Questioni riguardanti l’invertibilità di funzioni e calcolo della derivata delle funzioni inverse.
• Studio di funzione e applicazioni (studio di una funzione e relativo grafico qualitativo, dimostrazione dell’esistenza di soluzioni di equazioni non lineari).