ANALISI MATEMATICA II

Il corso si propone di fornire agli studenti del Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica gli strumenti dell'analisi matematica avanzata indispensabili per affrontare proficuamente le discipline di area ingegneristica del secondo e terzo anno. Il programma integra i contenuti tradizionali di Analisi Matematica II (successioni e serie di funzioni, calcolo in più variabili, equazioni differenziali, calcolo vettoriale) con gli argomenti già afferenti ad Analisi Matematica III (teoria delle funzioni olomorfe, serie di Laurent, trasformata di Fourier, trasformata di Laplace).

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente acquisirà la conoscenza e la comprensione degli strumenti dell'analisi matematica avanzata: successioni e serie di funzioni, serie di potenze e di Taylor, calcolo differenziale e integrale in più variabili, calcolo vettoriale, equazioni differenziali ordinarie, funzioni di variabile complessa, serie di Laurent, trasformate di Fourier e di Laplace. Saprà enunciare e comprendere i principali teoremi, riconoscere le strutture matematiche sottostanti e padroneggiare il linguaggio rigoroso della disciplina.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and
   understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione matematica di problemi ingegneristici: sviluppo in serie di Taylor di funzioni per l'approssimazione, soluzione di equazioni differenziali tramite la trasformata di Laplace, analisi in frequenza di segnali tramite la trasformata di Fourier, calcolo di integrali reali mediante il teorema dei residui, studio di sistemi LTI e di circuiti elettrici.
3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze, a individuare lo strumento matematico più adeguato al problema da affrontare e a valutare criticamente la correttezza e la completezza delle soluzioni proposte. Sarà incoraggiato il confronto costruttivo tra studenti e il dialogo costante con il docente.
4. Abilità comunicative (Communication skills): Attraverso la frequenza delle lezioni, le esercitazioni e la lettura dei testi consigliati, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza i risultati matematici acquisiti, sia in forma scritta sia in forma orale, padroneggiando il linguaggio formale della disciplina.
5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel consolidamento del proprio metodo di studio, sviluppando la capacità di affrontare autonomamente nuovi argomenti, di riconoscere i prerequisiti necessari e di trasferire le competenze acquisite ai corsi successivi (Elettrotecnica, Teoria dei Segnali, Automatica, Comunicazioni Elettriche).

L'insegnamento viene svolto mediante lezioni di teoria ed esercitazioni, alla lavagna. Occasionalmente potranno essere usati ausili multimediali. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Il ricevimento studenti potrà anche essere svolto, previo appuntamento, in modalità telematica

È indispensabile padroneggiare tutti i concetti e le tipologie di esercizi di Analisi Matematica I. In particolare lo studente deve saper:

▸    calcolare limiti di funzioni e di successioni numeriche

▸    riconoscere i punti di continuità delle funzioni e classificarne le singolarità

▸    calcolare derivate di funzioni di una variabile reale e individuarne i punti stazionari

▸    studiare il carattere di una serie numerica (criteri del rapporto, della radice, di Leibniz, del confronto)

▸    calcolare integrali definiti e indefiniti, inclusi gli integrali impropri

▸    determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale del primo ordine

Sono inoltre utili le conoscenze elementari di geometria analitica nel piano e nello spazio e i fondamenti della teoria degli spazi vettoriali (Algebra Lineare e Geometria).

Modulo 1 — Successioni e Serie di Funzioni, Serie di Potenze e di Taylor  (8 ore lez. + 5 ore es.)

▸    Successioni di funzioni reali di variabile reale: convergenza puntuale e uniforme

▸    Caratterizzazione della convergenza uniforme

▸    Criterio di convergenza di Cauchy per successioni (puntuale e uniforme)

▸    Teoremi di continuità, derivabilità, passaggio al limite sotto il segno di integrale

▸    Serie di funzioni reali: convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale

▸    Criterio di Cauchy e teorema di Weierstrass per le serie di funzioni

▸    Confronto tra i vari tipi di convergenza. Teoremi di continuità, derivabilità e integrazione per serie

▸    Serie di potenze: raggio di convergenza, teorema di Cauchy-Hadamard, teorema di Abel

▸    Proprietà della funzione somma di una serie di potenze (continuità, derivabilità, integrabilità)

▸    Serie di Taylor: condizioni per la sviluppabilità; sviluppi notevoli (esponenziale, seno, coseno, logaritmo, binomio)

▸    Serie di Fourier: coefficienti di Fourier, convergenza puntuale (condizioni di Dirichlet)

Modulo 2 — Calcolo Differenziale e Integrale in Rⁿ  (15 ore lez. + 10 ore es.)

▸    Spazi euclidei; funzioni tra spazi euclidei; topologia in Rⁿ

▸    Limiti e continuità di funzioni di più variabili; teoremi di Weierstrass e di esistnza degli zeri

▸    Derivate parziali e derivate direzionali; gradiente, matrice jacobiana, matrice hessiana

▸    Differenziabilità; teorema del differenziale totale

▸    Derivata della funzione composta; formula di Taylor al primo e al secondo ordine

▸    Teorema del gradiente nullo; funzioni positivamente omogenee (identità di Eulero)

▸    Teorema di U. Dini (funzione implicita scalare e caso vettoriale)

▸    Massimi e minimi relativi: condizione necessaria (Fermat), condizioni sufficienti del secondo ordine

▸    Ricerca degli estremi assoluti

▸    Ottimizzazione vincolata: metodo dei moltiplicatori di Lagrange

▸    Integrale di Lebesgue in Rⁿ: misura, funzioni misurabili, teoremi di Fubini e Tonelli

▸    Formule di riduzione per integrali doppi e tripli; cambiamento di variabili

▸    Coordinate polari, cilindriche e sferiche

Modulo 3 — Calcolo Vettoriale e Teoria dei Campi  (8 ore lez. + 5 ore es.)

▸    Curve in Rⁿ: parametrizzazione, vettore tangente e normale, rettificabilità, ascissa curvilinea

▸    Integrali curvilinei scalari e vettoriali

▸    Forme differenziali lineari: esattezza, chiusura, circuitazione; teorema di Poincaré

▸    Campi vettoriali conservativi e potenziale scalare

▸    Operatori differenziali: gradiente, divergenza, rotore, laplaciano

▸    Domini regolari; formule di Gauss-Green nel piano

▸    Superfici in R³: parametrizzazione, vettore normale, integrali di superficie

▸    Teorema della divergenza di Gauss nello spazio

▸    Teorema di Stokes

Modulo 4 — Equazioni Differenziali Ordinarie  (10 ore lez. + 5 ore es.)

▸    EDO di ordine n; problema di Cauchy: esistenza e unicità locale e globale

▸    Equazioni a variabili separabili, omogenee, lineari del primo ordine, di Bernoulli

▸    Sistemi di EDO lineari: struttura dell'insieme delle soluzioni, matrice wronskiana

▸    Sistemi lineari a coefficienti costanti: metodo degli autovalori e autovettori

▸    EDO lineari  a coefficienti costanti: soluzione omogenea e particolare

▸    Metodo di variazione dei parametri (Lagrange); equazione di Eulero

Modulo 5 — Funzioni di Variabile Complessa e Serie di Laurent  (10 ore lez. + 5 ore es.)

▸    Il campo dei numeri complessi: topologia del piano complesso

▸    Funzioni di variabile complessa: limite, continuità, derivabilità complessa

▸    Condizioni di Cauchy-Riemann; funzioni armoniche coniugate

▸    Funzioni olomorfe (analitiche): definizione e proprietà fondamentali

▸    Funzioni elementari nel campo complesso: esponenziale, funzioni trigonometriche e iperboliche, logaritmo complesso, potenze

▸    Integrale curvilineo complesso; teorema di Darboux

▸    Teorema di Cauchy-Goursat; primitiva di una funzione olomorfa; teorema di Morera

▸    Formule integrali di Cauchy e conseguenze (derivate di ordine superiore)

▸    Analiticità delle funzioni olomorfe; teorema di Hermite-Liouville

▸    Teorema fondamentale dell'algebra

▸    Serie di Taylor nel campo complesso; serie di potenze e loro convergenza

▸    Serie di Laurent: teorema di Laurent, regioni di convergenza (corona circolare)

▸    Singolarità isolate: singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale

▸    Zeri di una funzione olomorfa; principio di identità delle funzioni olomorfe

▸    Residuo; teorema dei residui

▸    Applicazioni: calcolo di integrali reali impropri mediante il teorema dei residui

Modulo 6 — Trasformata di Fourier  (5 ore lez. + 2 ore es.)

▸    Cenni sulle funzioni a variazione limitata e assolutamente continue

▸    Trasformata di Fourier di funzioni sommabili: definizione e regione di esistenza

▸    Proprietà: linearità, traslazione nel tempo e in frequenza, cambio di scala, coniugazione, simmetria (funzioni pari/dispari)

▸    Teorema di Riemann-Lebesgue; continuità della trasformata di Fourier

▸    Trasformata della derivata e dell'integrale

▸    Convoluzione di funzioni sommabili; trasformata di Fourier della convoluzione; formula di moltiplicazione

▸    Inversione della trasformata di Fourier; trasformata aggiunta

▸    Teorema di Parseval (eguaglianza di Parseval)

Modulo 7 — Trasformata di Laplace  (5 ore lez. + 2 ore es.)

▸    Trasformata di Laplace di funzioni localmente sommabili: definizione, ascissa di convergenza e di assoluta convergenza

▸    Olomorfia della trasformata nel semipiano di convergenza assoluta; convergenza uniforme

▸    Proprietà operative: linearità, traslazione nel tempo, traslazione nel piano complesso, cambio di scala

▸    Prima e seconda formula fondamentale (trasformata della derivata n-esima e dell'integrale)

▸    Convoluzione di funzioni localmente sommabili; trasformata di Laplace della convoluzione

▸    Inversione della trasformata: antitrasformazione di funzioni razionali mediante frazioni parziali

▸    Applicazioni alla soluzione di EDO con condizioni iniziali e di sistemi di EDO

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni.

Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile.Le conoscenze acquisite saranno funzionali alla Istruzione di qualità, alla Energia pulita e accessibile, alla Lotta contro i cambiamenti climatici, alla Partnership per gli obiettivi, in accordo con gli obiettivi 4,7,13 e 17 dell’Agenda 2030.

▸    Testo 1 G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 2, Monduzzi Editoriale.

▸    Testo 2 G. Di Fazio, M. Frasca, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Monduzzi Editoriale.

▸    M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.

▸    M. S. Fanciullo, A. Giacobbe, F. Raciti, Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical Books.

▸    C. D'Apice, T. Durante, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 2, Maggioli Editore.

▸    C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 3, Maggioli Editore.

L'esame mira a verificare il raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, con particolare riguardo alla conoscenza dei concetti teorici fondamentali e alla capacità di applicarli nella soluzione di problemi tipici dell'ingegneria elettronica. 

La prova d'esame è composta da una prova scritta della durata di due ore e una successiva prova orale. 

La prova scritta si articola in due parti: – Parte A (teoria): 2 definizioni e 2 quesiti teorici. Requisito minimo: rispondere correttamente ad almeno 1 definizione e 1 quesito teorico. – Parte B (esercizi): 4 esercizi (uno per ciascun macro-tema: serie di funzioni/calcolo in Rⁿ, calcolo vettoriale/EDO, variabile complessa, trasformate). Requisito minimo: svolgere correttamente almeno 2 esercizi..

La prova orale verte su tutto il programma del corso. Può essere sostenuta dopo il superamento della prova scritta e consente di migliorare il voto. Una prestazione insufficiente può comportare la riduzione del voto scritto o, nei casi più gravi, l'annullamento della prova.

Gli elementi di valutazione del colloquio orale includono:

•        la pertinenza delle risposte rispetto alle domande formulate;

•        la qualità e la correttezza dei contenuti esposti;

•        la capacità di collegamento tra i diversi temi del programma;

•        la capacità di fornire esempi e applicazioni pertinenti;

•        la proprietà del linguaggio tecnico-matematico;

•        la capacità espressiva complessiva dello studente.

▸    Teoria: raggio di convergenza di una serie di potenze; condizioni di sviluppabilità in serie di Taylor; condizioni di Cauchy-Riemann; teorema dei residui; classificazione delle singolarità isolate; proprietà della trasformata di Fourier; teorema del valore iniziale e finale per la trasformata di Laplace; teorema di Fubini; struttura delle soluzioni di un sistema di EDO lineari.

▸    Esercizi: determinazione del raggio di convergenza e della somma di una serie di potenze; sviluppo in serie di Taylor/Laurent di una funzione assegnata; calcolo di integrali reali impropri mediante il teorema dei residui; soluzione di EDO con condizioni iniziali tramite la trasformata di Laplace; analisi in frequenza di un segnale mediante la trasformata di Fourier; ottimizzazione libera e vincolata di funzioni di più variabili; calcolo di integrali multipli con cambiamento di variabili.