ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - canale 2

L'insegnamento si propone di trattare i seguenti argomenti

1) Algebra Lineare: risoluzione di sistemi lineari, studio delle applicazioni lineari, ricerca dei loro autovalori e loro diagonalizzazione;

2) Geometria: geometria lineare nel piano e nello spazio (rette e piani), studio di coniche e quadriche.

Equazioni e disequazioni di vario grado e tipo. Nozioni di base di algebra. Nozioni di base di geometria analitica. Trigonometria

Lo studente deve possedere almeno il 70% delle presenze alle lezioni del corso per potere accedere alle due prove in itinere di Algebra Lineare e di Geometria.

Algebra

1. Insiemi. Operazioni algebriche binarie e strutture ad esse correlate: gruppi, anelli, campi. Applicazioni tra insiemi e loro proprietà.

2. Matrici e loro rango. Determinanti e loro proprietà. Inversa di una matrice quadrata. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione, incognite libere.

3. Spazi vettoriali e loro proprietà. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare di vettori. Generatori di uno spazio vettoriale. Base di uno spazio vettoriale. Metodo del completamento ad una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Somme dirette.

4. Applicazioni lineari e loro proprietà. Iniettività, suriettività, biettività e isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base e suo significato intrinseco geometrico. Matrici cambiamento di base. Matrici simili.

5. Autovalori, autovettori di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

Geometria:

1. Grandezze vettoriali. Spazi vettoriali a due, a tre dimensioni e a 'n' dimensioni. Operazioni tra vettori interne e esterne. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Base canonica nel piano e nello spazio, vettori per componenti e operazioni mediante le componenti. Geometria lineare nello spazio. Coordinate non omogenee e coordinate omogenee, punti impropri. Rette nel piano e nello spazio e loro equazioni. I piani e loro equazioni. Proprietà angolari di rette e piani e loro rispettive distanze. Fasci di rette e piani.

2. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche, loro matrici associate e invarianti ortogonali associati. Equazioni ridotte. Fasci di coniche. Coniche per cinque punti. Circonferenze e punti ciclici. Iperboli equilatere e loro caratterizzazione. Rette tangenti a una conica. Punti impropri di una conica. Classificazione delle coniche rispetto ai punti impropri.

3. Quadriche nello spazio e loro matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici. Quadriche degeneri: spezzate, coni e cilindri. Classificazione di quadriche non degeneri. Equazioni ridotte di una quadrica e loro riduzione in forma canonica. Rette e piani tangenti.

Paxia: Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania

Giuffrida, Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma

Bonacini, Cinquegrani, Marino: Geometria: esercizi svolti. Ed. Cavallotto

L'esame è composto di una prova scritta e di una prova orale.

Algebra Lineare

Proprietà degli spazi vettoriali e dei loro sottospazi.

Intersezione, unione e somma di sottospazi.

Indipendenza lineare.

Generatori di uno spazio vettoriale.

Base di uno spazio e metodo degli scarti successivi.

Dimensione di uno spazio vettoriale.

Teoremi sulle applicazioni lineari.

Teoremi sugli endomorfismi.

Geometria

Proprietà di rette e piani.

Teoremi sulle coniche.

Teoremi sulle quadriche.