ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cp - I

Anno accademico 2021/2022 - 1° anno
Docente: Giuseppe ZAPPALA'
Crediti: 9
SSD: MAT/03 - Geometria
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 146 di studio individuale, 49 di lezione frontale, 30 di esercitazione
Semestre:
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Obiettivi formativi

1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): definizioni e teoremi riguardanti i concetti fondamentali degli spazi vettoriali, applicazioni lineari ed endomorfismi, costruzioni di base e teoremi riguardanti rette e piani nello spazio e le coniche nel piano, definizioni e teoremi inerenti la classificazione delle quadriche.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): saper calcolare il rango di una matrice, con o senza parametro, sapere studiare uno spazio vettoriale, sapere fare lo studio di un'applicazione lineare, saper determinare autovalori e autovettori di endomorfismi, sapere fare la diagonalizzazione di una matrice, essere in grado di risolvere problemi di geometria lineare inerenti punti, rette e piani nello spazio, sapere classificare le coniche e le quadriche e studiare i fasci di coniche nel piano.

3. Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati e alla fine del corso sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi. Sarà, inoltre, fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

4. Abilità comunicative (communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico e ad acquisire il linguaggio specifico dell'algebra lineare e della geometria. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

5. Capacità di apprendimento (learning skills): Il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari nel prosieguo degli studi. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Sono previste delle ore di esercitazione, al di fuori dell'orario dele lezioni, svolte da un tutor qualificato. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

Risoluzione di equazioni e disequazioni di grado minore o uguale a 3. Fattorizzazione di polinomi tramite procedure elementari da applicare in casi particolari, come ad esempio nel caso del "raccoglimento a fattor comune" o in una "differenza di quadrati". Funzioni goniometriche seno, coseno e tangente e valori che assumono in angoli notevoli. Radice quadrata e valore assoluto di un numero reali. Logica elementare e teoria elementare degli insiemi.


Frequenza lezioni

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.


Contenuti del corso

Algebra Lineare:

  1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture geometriche: gruppi, anelli, campi.
  2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.
  3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
  4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
  5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Matrici elementari. Prodotto di matrici. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.
  6. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.
  7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.
  8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.


Geometria:

  1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
  2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani.
  3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
  4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.

Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.


Testi di riferimento

1. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.

2. Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.

3. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.

4. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.

5. E. Sernesi. Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Prodotto cartesiano. Relazioni. Funzioni. Immagine e controimmagine. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Restrizioni ed estensioni. Composizione di funzioni. Tempo richiesto previsto: 2 ore1 - Pagine 1-17 
2Proprietà della composizione. Funzioni invertibili. Relazioni di equivalenza. Partizioni. Classi di equivalenza. Insieme quoziente. Tempo richiesto previsto: 2 ore1 - Pagine 14-17 
3Strutture algebriche. Semigruppi. Elemento neutro. Monoidi. Elementi invertibili in un monoide. Gruppi. Gruppi abeliani. Esempi di gruppi. Gruppi di permutazioni. Tempo richiesto previsto: 4 ore1 - Pagine 17-26 
4Anelli. Anelli con unità. Anello dei numeri interi. Divisori dello zero. Corpi. Campi. Anelli commutativi con unità. Domini di integrità. Anello dei polinomi. Anelli delle classi di resto. Grado di un polinomio. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 36-51 
5Equazioni algebriche. Algoritmo di divisione. Teorema di Ruffini. Regola di Ruffini. Molteplicità delle radici. Tempo richiesto previsto: 2 ore1 - Pagine 36-51 
6Matrici. Somma tra matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Matrici triangolari, diagonali. Anello delle matrici quadrate. Matrice identica. Campo delle metrici scalari. Matrici trasposte. Traccia. Tempo richiesto previsto: 4 ore1 - Pagine 51-59 
7Classe di una permutazione. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà dei determinanti. Multilinearità ed alternanza. Tempo richiesto previsto: 4 ore1 - Pagine 141-153 
8Teorema di Binet. Cofattori. Teoremi di Laplace. Calcolo di determinanti. Matrice dei cofattori. Matrice aggiunta. Formula della matrice inversa. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 153-158 
9Sistemi lineari. Sistemi di Cramer. Regola di Cramer. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 167-171 
10Polinomi riducibili. Campi algebricamente chiusi. Campo dei numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria. Coniugato. Modulo. Formula di De Moivre. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 26-35 
11Teorema fondamentale dell'algebra. Formula di Eulero. Identità di Eulero. Fattorizzazione di polinomi sul campo reale e complesso. Riducibilità sul campo dei numeri reali. Radici n-esime di un numero complesso. Tempo richiesto previsto: 2 ore1 - Pagine 36-50 
12Definizione di spazio vettoriale. Legge di annullamento del prodotto. Sottospazi. Esempi di sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 87-103 
13Generatori. Vettori linearmente dipendenti. Criterio di indipendenza lineare. Basi. Metodo degli scarti successivi. Estensione ad una base. Tempo richiesto previsto: 4 ore1 - Pagine 103-113 
14Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Calcolo di dimensioni. Dimensione di sottospazi. Componenti. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 113-119 
15Sottomatrici. Minori. Rango di una matrice. Matrici ridotte. Metodo di riduzione. Teorema di Kronecker. Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di un sistema lineare. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 141-153 
16Sottomatrici. Minori. Rango di una matrice. Matrici ridotte. Metodo di riduzione. Teorema di Kronecker. Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di un sistema lineare. Tempo richiesto previsto: 4 ore1 - Pagine 158-182 
17Teorema degli orlati. Sistemi lineari omogenei. Sistemi omogenei di n equazioni in n+1 incognite. Tempo richiesto previsto: 2 ore1 - Pagine 182-187 
18Applicazioni lineari. Immagine e controimmagine di sottospazi. Nucleo e iniettività. Dimensione dell'immagine di un sottospazio. Teorema sulle dimensioni del nucleo e dell'immagine. Isomorfismi ed endomorfismi. Spazi vettoriali isomorfi. Tempo richiesto previsto: 4 ore1 - Pagine 201-219 
19Composizione di applicazioni lineari. Isomorfismi. Prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Formula di Grassmann. Composizione di applicazioni lineari. Matrici associate alle applicazioni lineari. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 219-235 
20Rango della matrice associata. Matrici del cambio di base. Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione. Matrici simili. Tempo richiesto previsto: 2 ore1 - Pagine 235-239 
21Endomorfismi diagonalizzabili. Autovalori ed autovettori. Polinomio caratteristico. Coefficienti del polinomio caratteristico. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 263-265; 271-279 
22Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Somma diretta di sottospazi. Indipendenza degli autospazi. Endomorfismi diagonalizzabili e loro caratterizzazione. Tempo richiesto previsto: 3 ore1 - Pagine 279-293 
23Spazi affini. Vettori geometrici. Angolo tra due vettori. Spazi proiettivi. Punti impropri. Omogeneizzazione di polinomi. Tempo richiesto previsto: 2 ore2 - Pagine 1-21 
24Curve algebriche. Rette nel piano proiettivo. Retta per due punti. Superfici algebriche. Piani e rette nello spazio proiettivo. Rette complanari, incidenti e sghembe. Tempo richiesto previsto: 2 ore2 - Pagine 31-45; 51-62 
25Fasci di piani. Equazione della retta in forma vettoriale e parametrica. Distanze. Punto medio e asse di un segmento. Luoghi geometrici. Bisettrici. Circonferenze. Sfere. Simmetrie. Tempo richiesto previsto: 3 ore2 - Pagine 62-72 
26Cambiamenti del sistema di riferimento. Trasformazioni ortogonali. Matrice associata ad una conica. Coniche spezzate. Punti singolari. Tempo richiesto previsto: 3 ore2 - Pagine 73-79 
27Punti impropri di una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Equazioni ridotte. Trasformazione di una conica in forma ridotta. Tempo richiesto previsto: 2 ore2 - Pagine 79-81 
28Invarianti ortogonali. Rette tangenti ad una conica. Polarità. Teorema di reciprocità. Equazioni canoniche. Ellisse reale ed ellisse immaginaria. Iperbole. Parabola. Assi e centro di simmetria. Fuochi e direttrici. Tempo richiesto previsto: 3 ore2 - Pagine 81-87 
29Centro di una conica. Circonferenze. Punti ciclici. Iperboli equilatere. Fasci di coniche. Luogo base. Coniche spezzate di un fascio. Coniche bitangenti. Coniche per 5 punti. Tempo richiesto previsto: 3 ore2 - Pagine 87-113   
30Quadriche. Matrice associata. Vertici. Quadriche riducibili. Coni e cilindri. Classificazione dei cilindri. Conica all'infinito. Tempo richiesto previsto: 2 ore2 - Pagine 115-123 
31Classificazione delle quadriche non degeneri. Iperboloidi, paraboloidi ed ellissoidi. Rette e piani tangenti. Natura dei punti di una quadrica. Forme canoniche. Tempo richiesto previsto: 3 ore2 - Pagine 124-133 
32Sfere. Cerchio assoluto. Punti ciclici. Circonferenze nello spazio. Tempo richiesto previsto: 2 ore2 - Pagine 140-142 

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

PROVA D'ESAME: La prova d'esame è composta da una prova scritta (la cui durata è di norma 3 ore) e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta. Verranno proposti uno o più quesiti a risposta aperta riguardanti sia la parte di Algebra lineare che la parte di Geometria.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.


Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Esercizi di Algebra Lineare
1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della semplicità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando possibile, una base di autovettori.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.
4. Esercizi sugli spazi vettoriali e sulla loro dimensione, su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte, restrizioni ed estensioni.


Esercizi di Geometria
1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una conica. Coniche sotto condizione.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica intersezione di una quadrica con un piano.

Sono possibili semplici esercizi a carattere teorico. Sapere dimostrare o confutare un enunciato di Algebra Lineare o Geometria.