ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cp - I

Conoscenza e capacità di comprensione: definizioni e teoremi riguardanti i concetti fondamentali degli spazi vettoriali, applicazioni lineari ed endomorfismi, costruzioni di base e teoremi riguardanti rette e piani nello spazio e le coniche nel piano, definizioni e teoremi inerenti la classificazione delle quadriche.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: calcolare il rango di una matrice, con o senza parametro, studiare uno spazio vettoriale, studiare un'applicazione lineare, determinare autovalori e autovettori di endomorfismi, diagonalizzare una matrice, risolvere problemi di geometria lineare inerenti punti, rette e piani nello spazio, classificare le coniche e le quadriche e studiare i fasci di coniche nel piano.

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Sono previste delle ore di esercitazione, al di fuori
dell'orario dele lezioni, svolte da un tutor qualificato. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente esercizi scelti, anche durante le ore di lezione. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Risoluzione di equazioni e disequazioni di grado minore o uguale a 3. Fattorizzazione di polinomi tramite procedure elementari da applicare in casi particolari, come ad esempio nel caso del "raccoglimento a fattor comune" o in una "differenza di quadrati". Funzioni goniometriche seno, coseno e tangente e valori che assumono in angoli notevoli. Radice quadrata e valore assoluto di un numero reali. Logica elementare e teoria elementare degli insiemi.

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d'esame.

Algebra Lineare:

1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture geometriche: gruppi, anelli, campi.

2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.

3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.

4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.

5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.

6. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.

7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.

8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

Geometria:

9. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.

10. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani.

11. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche e loro uso per determinare coniche particolari.

12. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.

1. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.

2. Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.

3. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.

4. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.

5. E. Sernesi. Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000.

PROVA D'ESAME

La prova d'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Alla prova orale si accede dopo aver superato la prova scritta. La prova scritta si supera con un punteggio minimo di 12/30.

PROVE IN ITINERE: Durante lo svolgimento delle lezioni sono previste due prove in itinere, entrambe della durata di circa 2 ore, riservate esclusivamente agli studenti del primo anno. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.

La prima prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella prima parte del corso (dedicata allo studio dell'Algebra Lineare). Il superamento della prima prova in itinere permette di acquisire fino a 15 (superamento della prova con voto pari a 6).

La seconda prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella seconda parte del corso (dedicata allo studio della Geometria Analitica). La partecipazione alla seconda prova è indipendente dalla partecipazione alla prima e dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta. Questa seconda prova permette di ottenere un voto massimo di 15 (superamento della prova con voto pari a 6).

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esercizi di Algebra Lineare

1. Studio di un'applicazione lineare, al variare di parametri, determinando nucleo ed immagine.

2. Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo, al variare di parametri e calcolo di autovettori ed autospazi.

3. Calcolo di controimmagini di sottospazi.

4. Risoluzioni di sistemi lineari, anche al variare di parametri.

5. Esercizi su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari indotte, restrizioni ed esetensioni.

Esercizi di Geometria

1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.

2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato o da ricavare. Studio completo di una conica.

3. Classificazione di quadriche, al variare di parametri. Studio di coniche definite dalla sezione piana di una quadrica.