ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cp - I

Si intende innanzitutto introdurre lo studente al linguaggio e al rigore necessari per lo studio dei concetti
essenziali inerenti l'Algebra Lineare e la Geometria analitica: fra questi, teoria degli spazi vettoriali,
calcolo matriciale, risoluzione di sistemi lineari, applicazioni lineari, calcolo di autovettori e autovalori,
diagonalizzazione di matrici, rette e piani nello spazio, coniche nel piano e quadriche nello spazio.
Si richiede che lo studente sia in grado di applicare tali concetti e metodi alla risoluzione di problemi
concreti di algebra lineare e di geometria analitica che riguardano lo studio dei più semplici oggetti
geometrici nel piano e nello spazio.
Lo studente affronterà vari aspetti teorici degli argomenti affrontati, affinando le capacità logiche allo
scopo di utilizzare con rigore alcuni significativi metodi dimostrativi. Tali dimostrazioni saranno
presentate in modo tale da cogliere ogni singolo e minimo passaggio necessario al raggiungimento
dell'obiettivo.
Studiando l'Algebra Lineare e la Geometria e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni, lo studente
apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un
linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico,
non solo in ambito matematico.
Gli studenti saranno in grado di utilizzare le nozioni, i concetti e le metodologie acquisite nell'ambito degli
studi successivi e verranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti.

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi
significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente
esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria. Regola di Ruffini

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in
itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame. Se alternativamente lo studente ha superato la prima prova in Itinere ha automaticamente la possibilità di sostenere la seconda a prescindere dalla frequenza.

Algebra Lineare:
1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine,
iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture
geometriche: gruppi, anelli, campi.
2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto
scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante
componenti.
3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri
complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi.
Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli
scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio
vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi
lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di
Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle
soluzioni.
6. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata.
Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.
7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività,
suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni
lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli
autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.
Geometria:
1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni.
Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro
equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani.
Distanze. Fasci di piani.
3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti
ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle
coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di
coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni
e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione
delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.

1. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
2. G.Paxia: Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.
3. .P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
4. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

PROVA D'ESAME

La prova d'esame è composta da una prova scritta e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30).

PROVE IN ITINERE

Durante lo svolgimento delle lezioni sono previste due prove in itinere, entrambe della durata di due ore, riservate esclusivamente agli studenti del primo anno.

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.

La prima prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nelle Unità Didattiche 1,2,3,4. Il superamento della prima prova in itinere permette di acquisire fino a 15 (superamento della prova con voto pari a 7).

La seconda prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nelle Unità Didattiche 5,6,7. La partecipazione alla seconda prova è indipendente dalla partecipazione alla prima e dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta. Questa seconda prova permette di ottenere un voto massimo di 15 (superamento della prova con voto pari a 7).

Lo studente che abbia superato entrambe le prove in itinere deve integrare le due prove in itinere con la prova orale da svolgere negli appelli regolari (entro la fine dell'a.a.), per il superamento dell'esame.

Lo studente che abbia superato una sola delle due prove in itinere deve integrare la prova in itinere superata con una prova scritta riguardante la parte del programma rimanente. Il superamento di questa prova scritta (che avviene con un voto di 7/15) consente di accedere all'orale.

Esercizi di Algebra Lineare

1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della semplicità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando possibile, una base di autovettori.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.
4. Esercizi su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte, restrizioni ed estensioni.

Esercizi di Geometria

1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una conica. Coniche sotto condizione.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica intersezione di una quadrica con un piano.