ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA P - Z

Anno accademico 2021/2022 - 1° anno - Curriculum Ingegneria Industriale-Elettrica, Curriculum Ingegneria Industriale-Meccanica e Curriculum Ingegneria Industriale-Gestionale
Docente: Monica LA BARBIERA
Crediti: 9
SSD: MAT/03 - Geometria
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 138 di studio individuale, 42 di lezione frontale, 45 di esercitazione
Semestre:
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Obiettivi formativi

Il corso introduce allo studio dei sistemi lineari, delle applicazioni lineari, alla ricerca di autovalori di matrici e alla diagonalizzazione di matrici. Si affronta lo studio della geometria lineare, specificatamente rette e piani, delle coniche nel piano e delle quadriche nello spazio.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti , gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Atti va e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. A. Pagano.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni in aula. Teoria ed esercitazioni.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria.


Frequenza lezioni

La frequenza è libera. È comunque consigliata per sostenere la prova d’esame.


Contenuti del corso

Algebra Lineare:
1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi e strutture geometriche (gruppi, anelli, campi).

2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.

3. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Somme dirette.

4. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet. Teorema di Kronecker.
5. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Metodo di Cramer. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.
6. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

Geometria:

1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.

2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà di rette e piani. Fasci di piani.

3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fasci di coniche.

4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Circonferenza e sfera.


Testi di riferimento

1. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.
2. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.
3. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.
4. G.Paxia : Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Introduzione alla teoria degli insiemiTesto 3: cap 1,3 - Testo 1: cap. 1 
2Introduzione ai campi e spazi vettoriali.Testo 3: cap 1,3 - Testo 1: cap. 1 
3Risoluzione dei sistemi lineari.Testo 3: cap 1,3 - Testo 1: cap. 1 
4Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale.Testo 3: cap. 2 - Testo 1: cap. 2 
5Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base da un sistema di generatori e completamento a base di un insieme libero.Testo 3: cap. 2 - Testo 1: cap. 2 
6Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione lineare.Testo 3: cap. 4 - Testo 1: cap. 3,4,5 
7Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con applicazioni lineari. Calcolo di immagini e controimmaginiTesto 3: cap. 4 - Testo 1: cap. 3,4,5 
8Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matriceTesto 3: cap. 5 - Testo 1: cap. 6,7,8 
9Restrizioni ed estensioni di applicazioni lineariTesto 3: cap. 5 - Testo 1: cap. 6,7,8 
10Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Assegnazione di una retta e di un piano e loro equazioni. Punti impropri di rette e piani. Intersezioni di rette e piani.Parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette e fasci di piani. Distanze.Testo 4: cap. 1,2,3 - Testo 2: cap. 1 
11Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano, invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica. Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di conicheTesto 4: cap. 2 - Testo 2: cap. 2 
12Studio completo delle coniche. Coniche sotto condizioneTesto 4: cap. 2 - Testo 2: cap. 2 
13Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di una quadrica e quadriche degeneri. Conica all’infinito. • *Coni e cilindri. • *Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle quadriche non degeneriTesto 4: cap. 5 - Testo 2: cap. 3 
14Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere.Testo 4: cap. 5 - Testo 2: cap. 3 

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova d'esame è composta da una prova scritta e una prova orale obbligatoria.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Esempi di domande e/o esercizi frequenti

1 Studio di un’applicazione lineare, con determinazione di nucleo e immagine.

2 Studio della semplicità di un endomorfismo e determinazione di una base di autovettori.

3 Immagini e controimmagini di sottospazi e di vettori.

4 Esercizi di geometria lineare riguardanti parallelismo e ortogonalità, distanze.

5 Classificazione di coniche

6 Determinazione e studio di fasci di coniche.

6 Studio di quadriche e fasci di quadriche. Determinazione di coni e cilindri contenenti coniche.