ANALISI MATEMATICA I F - O

Modulo MODULO A

L’insegnamento di Analisi Matematica I - Modulo A ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi, sullo studio delle successioni e delle serie numeriche, e sulle funzioni reali di una variabile reale.

In particolare, gli obiettivi del suddetto insegnamento, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei testi consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che, relativamente al Modulo A dell’insegnamento, sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di base di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria. 

A supporto di tutti gli studenti che volessero ripassare i prerequisiti richiesti, si suggerisce il MOOC (Massive Open Online Courses) di matematica di base. Il MOOC di matematica di base è un corso online, ad accesso libero e gratuito, prodotto e pubblicato dal CISIA per fornire a studenti e studentesse del quarto e del quinto anno della Scuola Secondaria Superiore un ausilio per accrescere la preparazione in matematica e per affrontare al meglio i corsi di laurea. Le aree scientifiche per cui è stato realizzato il MOOC di Matematica di base sono agraria, economia, farmacia, ingegneria e scienze. I capitoli che lo compongono variano a seconda dell’area scientifica di interesse. Gli argomenti che compongono il MOOC di matematica di base si basano sui sillabi di riferimento delle sezioni di matematica dei test d’ingresso CISIA. Per frequentare il MOOC  è necessario accedere all’area riservata TOLC e all’area esercitazione e posizionamento sul sito del CISIA, da cui si viene reindirizzati alla piattaforma Federica Weblearning.

CONTENUTI DI MASSIMA DEL CORSO

• Degli argomenti contrassegnati con un asterisco, non si richiedono le dimostrazioni. 

• Insiemi numerici
  
• Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Generalità sull'insieme N dei numeri naturali, sull'insieme Z dei numeri interi e sull'insieme Q dei numeri razionali. L'insieme R dei numeri reali. Alcune conseguenze degli assiomi sui numeri reali*. Intervalli. Valore assoluto di un numero reale. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme numerico. L'insieme N dei numeri naturali. Il principio di induzione. Proprietà di Archimede. Densità di Q e di R-Q in R. Potenze con esponente reale*.
• Numeri complessi. Definizioni di base. Coordinate polari nel piano. Forma  algebrica e trigonometrica di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma trigonometrica. Forma esponenziale di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso. Equazioni algebriche.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Numeri floating-point, aritmetica esatta e aritmetica floating-point, numeri complessi. 
• Limiti di successioni
  
• Cenni di topologia. Definizioni di base, limiti, operazioni, caratterizzazione sequenziale del limite di funzione, successioni monotone, successioni estratte.   Forme indeterminate. Successioni di Cauchy. Numero di Nepero. 




• Serie numeriche.
  
• Definizioni di base. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche, serie logaritmica ed esponenziale. Criteri di convergenza per tutte le serie numeriche: aggiunta, eliminazione e modifica di un numero finito di termini di una serie numerica, algebra delle serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.
• Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice, criterio del rapporto, criterio di condensazione di Cauchy e sue applicazioni allo studio della serie armonica generalizzata e della serie di Bertrand. 
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz e suoi corollari. Criterio della convergenza assoluta.
• Complementi*. Riordinamento di una serie, prodotto di due serie, Criterio di Raabe, criteri di convergenza di Cauchy per successioni e serie.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Serie geometrica e frattali. 
• Funzioni e limiti. 
  
• Funzioni. Definizioni di base sulle funzioni. Funzione composta. Funzione inversa. Funzioni reali di una variabile reale: funzioni monotone, funzioni affini e funzioni lineari, funzioni pari e funzioni dispari,funzioni limitate e funzioni illimitate, punti di minimo e di massimo globale. Operazioni con le funzioni. 
• Limiti. Teoremi sui limiti. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teoremi del confronto. Limiti laterali e teorema sul limite delle funzioni monotone*. Teorema sul limite della funzione composta*. 
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Definizione di funzioni, anonymous function, function handle, user-defined function, rappresentazione grafica di funzioni.
• Funzioni continue e confronto locale. 
  
• Funzioni continue. Definizione di funzione continua e risultati di base. Continuità delle funzioni elementari e operazioni tra funzioni continue. Punti di singolarità: singolarità eliminabile, singolarità di prima e di seconda specie. Proprietà delle funzioni continue: proprietà locali e proprietà globali. Teorema di esistenza degli zeri e sua generalizzazione, Teorema dei valori intermedi. Insiemi sequenzialmente compatti e loro caratterizzazione.  Teorema di Weierstrass. Le funzioni inverse.  Iniettività e stretta monotonia per funzioni continue. Teorema di continuità della funzione inversa*. Limiti notevoli. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Asintoti. 
• Confronto locale tra funzioni. Simboli di Bachmann-Landau, confronto tra infinitesimi e infiniti. 
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Equazioni non lineari: piano di investimento, equazione di stato di un gas, dinamica delle popolazioni, metodo di bisezione, metodo di Newton, iterazioni di punto fisso.

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità:

Modalità 1: prove intermedie scritte e prova orale obbligatoria 

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale obbligatoria (vedasi modulo B)

Modalità 1: 

La modalità 1 prevede due prove intermedie di cui la prima a conclusione del Modulo A, la seconda a conclusione del Modulo B. Superate le due prove lo studente dovrà sostenere un colloquio orale (per dettagli si vedano le indicazioni sul Modulo B). 

Al termine delle lezioni previste dal Modulo A verrà proposta agli studenti una prova intermedia.

Date della prova intermedia.

Sono previste tre date utili per la prova intermedia scritta relativa al Modulo A: due all’interno della Prima Sessione d’Esami e una nel periodo di sospensione delle attività didattiche previsto nel mese di Aprile 2024.

Le date della prova intermedia che si svolgerà esclusivamente in forma scritta sono reperibili sul sito web del corso di laurea.

Struttura della prima prova intermedia scritta.

Nella prova intermedia scritta verranno proposti quattro  quesiti di teoria, quattro definizioni e quattro esercizi. La durata della prova intermedia scritta è di 180 minuti. 

Valutazione delle prove intermedie e voto finale.

Il massimo voto ottenibile nella prova intermedia scritta è pari a 30/30. La prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risponde correttamente a due quesiti di teoria, fornisce due definizioni corrette e risolve correttamente e completamente due dei quattro esercizi proposti.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame. Si veda Studium per testi d'esame assegnati, esercizi svolti, etc. 
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari). 

La prova orale e i quesiti di teoria previsti nella prova intermedia scritta relativa al Modulo A dell’insegnamento di Analisi Matematica I vertono su tutti i contenuti di teoria esposti nel Syllabus (si veda la sezione di “Contenuti del corso”).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo A dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Ricerca degli estremi di un insieme numerico. Ricerca di punti interni, di frontiera, di accumulazione di un dato insieme numerico. 
• Esercizi sui numeri complessi.
• Calcolo di limiti di successioni.
• Studio del carattere di serie numeriche.

• Calcolo di limiti di funzioni reali di una variabile reale. Studio della continuità, limitatezza,  invertibilità di una funzione.