ANALISI MATEMATICA I P - Z

Modulo MODULO A

• Il corso di Analisi Matematica I - Modulo A ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi, sul concetto di funzione reale di una variabile reale e relative proprietà, sulla nozione di limite e di continuità e sul calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.

  
  In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

  • Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale.
  • Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
  • Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
  • Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
  • Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che, relativamente al Modulo A dell’insegnamento, sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di base di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria.

A supporto di tutti gli studenti che volessero ripassare i prerequisiti richiesti, si suggerisce il MOOC di matematica di base. Il MOOC (Massive Open Online Courses) di matematica di base è un corso online, ad accesso libero e gratuito, prodotto e pubblicato dal CISIA per fornire a studenti e studentesse del quarto e del quinto anno della Scuola Secondaria Superiore un ausilio per accrescere la preparazione in matematica e per affrontare al meglio i corsi di laurea. Le aree scientifiche per cui è stato realizzato il MOOC di Matematica di base sono agraria, economia, farmacia, ingegneria e scienze. I capitoli che lo compongono variano a seconda dell’area scientifica di interesse. In particolare, tale supporto è indicato anche per gli studenti che si iscrivono nel Corso di Laurea in Ingegneria Industriale o nel Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale. Gli argomenti che compongono il MOOC di matematica di base si basano sui sillabi di riferimento delle sezioni di matematica dei test d’ingresso CISIA.

Per frequentare il MOOC  è necessario accedere all’area riservata TOLC e all’area esercitazione e posizionamento sul sito del CISIA, da cui si viene reindirizzati alla piattaforma Federica Weblearning.

La frequenza delle lezioni è obbligatoria (si veda il Regolamento Didattico del Corso di Laurea in Ingegneria Industriale e del Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale).

1.     Insiemi numerici. 
• Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Generalità sull'insieme N dei numeri naturali, sull'insieme Z dei numeri interi e sull'insieme Q dei numeri razionali. L'insieme R dei numeri reali e proprietà. Estremi di un insieme numerico.
• Numeri complessi. Definizioni di base. Ordinamento totale. Coordinate polari nel piano. Forma trigonometrica di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma trigonometrica. Forma esponenziale di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso. Equazioni algebriche.
2. Funzioni e limiti. 
• Funzioni. Definizioni di base sulle funzioni e loro proprietà.
• Limiti. Nozione di distanza e relativa topologia di R. Successioni numeriche: definizioni di base, successioni estratte, limiti, forme indeterminate, numero di Nepero, successioni di Cauchy, criterio di convergenza di Cauchy per successioni, Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti di funzioni: caratterizzazione sequenziale del limite di funzione, teoremi sui limiti, limiti laterali e teorema sul limite delle funzioni monotone. Teorema sul limite della funzione composta.
3. Funzioni continue e confronto locale.
• Funzioni continue. Definizione di funzione continua e risultati di base. Continuità delle funzioni elementari e operazioni tra funzioni continue. Punti di singolarità: singolarità eliminabile, singolarità di prima e di seconda specie. Proprietà delle funzioni continue: Teorema di esistenza degli zeri, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Iniettività e stretta monotonia per funzioni continue. Teorema di continuità della funzione inversa. Limiti notevoli.
• Confronto locale tra funzioni. Simboli di Bachmann-Landau, confronto tra infinitesimi e infiniti. Asintoti.
• Funzioni uniformemente continue e funzioni Lipschitziane.
4. Calcolo differenziale.
• Definizione di funzione derivabile e di derivata. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di derivata prima. Legame tra continuità e derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Derivate laterali. Punti di non derivabilità. Definizione di differenziale. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. 
• Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale e loro conseguenze. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Cauchy, Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Teorema di De L'Hôpital: Teorema sul limite della derivata. Limite della derivata e punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor. Funzioni concave, funzioni convesse e punti di flesso: definizioni e teoremi. Criteri delle derivate successive per il riconoscimento dei punti stazionari. Studio qualitativo del grafico di una funzione.

1. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica uno, Liguori.
2. C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, vol I, Zanichelli.

Per gli esercizi:

1. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica I, Liguori.
2. T.Caponetto, G.Catania, Esercizi di Analisi Matematica, Culc.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità:

Modalità 1: prove intermedie sia scritte che orali

Modalità 2: una prova scritta e una prova orale (vedasi modulo B)

Modalità 1: 

La modalità 1 prevede due prove intermedie, la prima a conclusione del Modulo A, la seconda a conclusione del Modulo B: ciascuna prova intermedia consiste di una prova scritta e di un colloquio orale.

Date delle prove intermedie relative al Modulo A.

Sono previste tre date utili per la prova intermedia scritta relativa al Modulo A: due all’interno della Prima Sessione d’Esami e una nel periodo di sospensione delle attività didattiche previsto ad Aprile. Le date della prova intermedia sono reperibili sul sito web del corso di laurea.

Struttura della prova intermedia scritta relativa al Modulo A.

Nella prova intermedia scritta relativa al Modulo A verranno proposti quattro esercizi e la durata della prova intermedia scritta è di 120 minuti. 

Valutazione delle prove intermedie.

Il massimo voto ottenibile nella prova intermedia scritta è pari a 30/30. La prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, la Commissione d’Esame potrà ammettere lo studente alla prova orale con riserva qualora lo studente dimostri comunque di possedere adeguate capacità di argomentazione.

Prova orale sul Modulo A.

La prova orale relativa al Modulo A va sostenuta  entro la prima sessione d'esami. Verrà conservata la prova scritta allo studente che non avrà superato la prova orale nel periodo previsto.

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina, l’esposizione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo A dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Ricerca degli estremi di un insieme numerico. Ricerca di punti interni, di frontiera, di accumulazione di un dato insieme numerico. 
• Esercizi sui numeri complessi.
• Calcolo di limiti di successioni.
• Calcolo di limiti di funzioni reali di una variabile reale. Studio della continuità, limitatezza, invertibilità di una funzione.
• Studio qualitativo del grafico di una funzione.