ANALISI MATEMATICA II A - L

Lo scopo del corso è quello di fornire agli studenti i concetti dell'Analisi Matematica II per funzioni di più variabili e le tecniche di calcolo necessarie per affrontare gli esercizi. Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente capace di elaborare gli argomenti fondamentali in maniera critica, acquisendo una capacità di ragionamento che sia formativa per tutte le materie di tipo scientifico e soprattutto per quelle matematiche e ingegneristiche.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

●     Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni concetti relativi alle funzioni di più variabili e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica relativa alle funzioni di più variabili reali: fra questi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale, integrali multipli, campi vettoriali.

●    Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.

●        Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

●        Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

●        Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Il corso è articolato in 28 ore di teoria e 30 ore di  esercitazioni.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA:

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del DEEI.

E' fondamentale la padronanza dell'Analisi Matematica I, Algebra lineare e Geometria.

La frequenza delle lezioni è obbligatoria (si vedano il Regolamento Didattico del Corso di Laurea in Ingegneria Industriale e il Regolamento Didattico del Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale).

1) Successioni e serie di funzioni

Successioni di funzioni: Generalità sulle successioni di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme.  Teorema di continuità, integrabilità e derivazione della funzione limite.

·Serie di funzioni: Generalità sulle serie di funzioni. Vari tipi di convergenza per le serie di funzioni. Serie di potenze: definizione, raggio ed intervallo di convergenza. Teorema della radice (o di Cauchy-Hadamard). Teorema del rapporto (o di D’Alembert). Teorema sulla continuità della funzione somma di una serie di potenze. Teoremi sulla integrazione e derivazione termine a termine per le serie di potenze. Sviluppo in serie di Taylor. 

 2) Funzioni di più variabili: introduzione, limiti e continuità.   

Topologia di R2 e di R3. Funzioni vettoriali di più variabili (o campi vettoriali). Definizioni di limite per funzioni di più variabili reali. Teoremi sui limiti. Definizione di funzione continua. Continuità per componenti. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi per funzioni continue in insiemi connessi e internamente connessi.

 3) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.  

Derivate parziali. Gradiente di una funzione vettoriale. Derivata direzionale in un punto (ovvero derivabilità secondo Gateaux). Differenziabilità (ovvero derivabilità secondo Frechet) ed esistenza del piano tangente in un punto al diagramma della funzione. Relazione tra differenziabilità, continuità ed esistenza delle derivate direzionali. Derivate delle funzioni composte. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Matrice hessiana. Funzioni con gradiente nullo su un insieme connesso. Formula di Taylor per le funzioni di due variabili. Generalità sulle forme quadratiche. Massimi e minimi locali liberi. Teorema di Fermat. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizione sufficiente del secondo ordine. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Esempi di esistenza di funzioni implicite in casi che non soddisfano le ipotesi del teorema del Dini. Derivabilità della funzione implicita. Estremi vincolati e teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 

 4)  Integrali multipli.   

Introduzione. Misura di un insieme secondo Peano-Jordan.  Integrale multiplo di una funzione limitata in un insieme limitato e misurabile. Integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell’integrale multiplo.  

Integrali doppi. Integrazione di una funzione continua su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi; Teorema sul cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari ed ellittiche nel piano.  

Integrali tripli. Integrazione per fili paralleli ad un asse coordinato e per strati paralleli ad un piano coordinato. Teorema del cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate polari (o sferiche) e cilindriche nello spazio.  Applicazioni. Massa, baricentro, momento di inerzia e volume di un solido di rotazione. 

5) Integrali su curve e superfici. 

Curve parametriche: Definizione di curva parametrica e sostegno di una curva. Curva semplice, chiusa, regolare e regolare a tratti. Versore tangente ad una curva in un punto, orientamento indotto da una curva sul sostegno, curve equivalenti. Curve rettificabili e loro lunghezza. Teorema sulla rettificabilità delle curve di classe C1. Esempio di curva non rettificabile. Proprietà delle curve parametriche equivalenti. Ascissa curvilinea e rappresentazione parametrica di una curva regolare mediante l’ascissa curvilinea.

 Integrali curvilinei:  

Definizione di integrale curvilineo di prima specie (ovvero di una funzione reale continua) esteso ad una curva regolare o regolare a tratti (generalmente regolare). Indipendenza dell’integrale curvilineo di prima specie dalla parametrizzazione. 

Forme differenziali lineari in tre variabili. Definizione di Integrali curvilinei di seconda specie (ovvero delle forme differenziali lineari) estesi a curve regolari o generalmente regolari. Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi. Integrale di linea e circuitazione di un campo vettoriale. Primo criterio di integrabilità. Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi nel piano e nello spazio. Formule di Gauss-Green nel piano. Secondo criterio di integrabilità. Formule dell'area di un dominio regolare ed applicazione al calcolo dell’area di settori polari. Campi centrali. Esempi di forme differenziali esatte definite in insiemi non semplicemente connessi.

Superfici parametriche in R3: sostegno di una superficie parametrica, superficie semplice e regolare. Piano tangente e versore normale ad una superficie regolare in un punto. Orientamento indotto da una superficie sul sostegno. Area di una superficie regolare. Superfici equivalenti e proprietà. Area del diagramma di una funzione di due variabili di classe C1.

Integrali di superficie: 

Definizione di integrale di superficie di prima specie (ovvero di una funzione reale continua). Indipendenza dell’integrale superficiale di una funzione dalla parametrizzazione della superficie.

Forme differenziali quadratiche in tre variabili. Definizione di integrale di superficie di seconda specie (ovvero delle forme differenziali quadratiche continue). Flusso di un campo vettoriale continuo attraverso una superficie. Dipendenza del flusso di un campo vettoriale dall’orientamento indotto dalla parametrizzazione della superficie. Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Cenni sui teoremi di Gauss (o della divergenza) e di Stokes (o del rotore) e qualche loro applicazione. Campi vettoriali solenoidali.

Contributo dell'insegnamento agli obiettivi dell'Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile:

GOAL 4: Istruzione di qualità. Fornire un’educazione di qualità, equa e inclusiva, promuovere opportunità di apprendimento permanente per tutti.

Per la teoria

1) N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone - Analisi Matematica 2, Liguori Editori.

2) J.P. Cecconi, G. Stampacchia- Analisi Matematica vol 2, Liguori Editori. 

3) L. Moschini, Lezioni di Analisi Matematica 2, Esculapio

Per gli esercizi

1) P. Marcellini, C. Sbordone - Esercizi di Matematica vol. 2, Liguori Editore.

2) J.P. Cecconi, G. Stampacchia- Esercizi e problemi di analisi matematica (Vol. 2)

3) L. Moschini, Esercizi svolti di Analisi Matematica 2, Esculapio

L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina, l’esposizione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti dell'insegnamento di Analisi Matematica II sono le seguenti:

●       Calcolo di limiti di funzioni reali di più variabili reali, studio della continuità, della derivabilità e della differenziabilità delle funzioni reali di più variabili reali.

●        Ricerca degli estremi locali liberi e vincolati di funzioni reali di più variabili reali.

●        Ricerca degli estremi globali di funzioni reali di più variabili reali.

●        Calcolo di integrali doppi e di integrali tripli.

●        Calcolo di integrali curvilinei.

●        Calcolo di integrali di superficie e di integrali di flusso.

●     Studio della conservatività di un campo vettoriale e ricerca dei potenziali di un campo conservativo. Analogamente: studio dell’esattezza di una forma differenziale e ricerca delle primitive di una forma differenziale esatta.

●        Calcolo di integrali curvilinei di campi vettoriali (risp., di forme differenziali).

●        Studio della convergenza di successioni e serie di funzioni.