ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA P - Z
Anno accademico 2017/2018 - 1° annoCrediti: 9
SSD: MAT/03 - Geometria
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 138 di studio individuale, 42 di lezione frontale, 45 di esercitazione
Semestre: 2°
ENGLISH VERSION
Obiettivi formativi
Il corso introduce allo studio dei sistemi lineari, delle applicazioni lineari, alla ricerca di autovalori di matrici e alla diagonalizzazione di matrici. Si affronta lo studio della geometria lineare, specificatamente rette e piani, delle coniche nel piano e delle quadriche nello spazio.
Prerequisiti richiesti
Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria.
Frequenza lezioni
La frequenza è libera. È comunque consigliata per sostenere la prova d’esame.
Contenuti del corso
Algebra Lineare:
1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi e strutture geometriche (gruppi, anelli, campi).
2. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
3. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.
4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Somme dirette.
5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet. Teorema di Kronecker.
6. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Metodo di Cramer. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.
7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.
Geometria:
1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fasci di coniche.
3. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà di rette e piani. Fasci di piani. Circonferenza e sfera.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani.
Testi di riferimento
1. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.
2. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni, Catania, 2012.
3. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.
4. G.Paxia : Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | Introduzione alla teoria degli insiemi | Testo 3: cap 1,3 - Testo 1: cap. 1 |
| 2 | * | Introduzione ai campi e spazi vettoriali. | Testo 3: cap 1,3 - Testo 1: cap. 1 |
| 3 | * | Risoluzione dei sistemi lineari. | Testo 3: cap 1,3 - Testo 1: cap. 1 |
| 4 | * | Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. | Testo 3: cap. 2 - Testo 1: cap. 2 |
| 5 | Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base da un sistema di generatori e completamento a base di un insieme libero. | Testo 3: cap. 2 - Testo 1: cap. 2 | |
| 6 | * | Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione lineare. | Testo 3: cap. 4 - Testo 1: cap. 3,4,5 |
| 7 | Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con applicazioni lineari. Calcolo di immagini e controimmagini | Testo 3: cap. 4 - Testo 1: cap. 3,4,5 | |
| 8 | * | Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice | Testo 3: cap. 5 - Testo 1: cap. 6,7,8 |
| 9 | Restrizioni ed estensioni di applicazioni lineari | Testo 3: cap. 5 - Testo 1: cap. 6,7,8 | |
| 10 | * | Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Assegnazione di una retta e di un piano e loro equazioni. Punti impropri di rette e piani. Intersezioni di rette e piani.Parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette e fasci di piani. Distanze. | Testo 4: cap. 1,2,3 - Testo 2: cap. 1 |
| 11 | * | Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano, invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica. Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche | Testo 4: cap. 2 - Testo 2: cap. 2 |
| 12 | Studio completo delle coniche. Coniche sotto condizione | Testo 4: cap. 2 - Testo 2: cap. 2 | |
| 13 | * | Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di una quadrica e quadriche degeneri. Conica all’infinito. • *Coni e cilindri. • *Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle quadriche non degeneri | Testo 4: cap. 5 - Testo 2: cap. 3 |
| 14 | Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere. | Testo 4: cap. 5 - Testo 2: cap. 3 |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova d'esame è composta da una prova scritta e una prova orale obbligatoria.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
1 Studio di un’applicazione lineare, con determinazione di nucleo e immagine.
2 Studio della semplicità di un endomorfismo e determinazione di una base di autovettori.
3 Immagini e controimmagini di sottospazi e di vettori.
4 Esercizi di geometria lineare riguardanti parallelismo e ortogonalità, proiezioni ortogonali e distanze.
5 Determinazione e studio di fasci di coniche.
6 Studio di quadriche al variare del parametro. Determinazione di coni e cilindri contenenti coniche.