ANALISI MATEMATICA I

Modulo MODULO B

1. Calcolo Integrale
• Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Alcuni integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali fratte. Integrali trigonometrici. Integrali di funzioni irrazionali.
  
• Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale secondo Riemann. Integrale esteso ad un intervallo orientato. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Integrazione per parti e integrazione per sostituzione per integrali definiti.
• Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
  
• Applicazioni con MATLAB. Integrazione numerica: formula del punto medio, formula del trapezio, formula di Simpson.
  
2. Serie numeriche.
• Definizioni di base. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche. Criteri di convergenza per tutte le serie numeriche: aggiunta, eliminazione e modifica di un numero finito di termini di una serie numerica, algebra delle serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.
  
• Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto, applicazione del criterio del confronto allo studio della serie armonica, criterio del confronto asintotico, criterio della radice. Un criterio di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy e sue applicazioni allo studio della serie armonica generalizzata e della serie di Bertrand. Criterio di Maclaurin e applicazioni.
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz e suoi corollari.
• Criterio della convergenza assoluta.
• Complementi. Riordinamento di una serie, prodotto di due serie, Criterio di Raabe, criteri di convergenza di Cauchy per successioni e serie.
  
• Applicazioni con MATLAB. Serie geometrica e frattali.
  
3. Equazioni differenziali ordinarie.
• Definizioni di base. 
• Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti non costanti, equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti, equazioni differenziali del primo ordine di Bernoulli, equazioni differenziali di tipo omogeneo del primo ordine.
• Applicazioni con MATLAB. Metodi di Eulero e metodo di Crank-Nicolson.

Testi consigliati per i Prerequisiti

[P1] G. Anichini, A. Carbone, P. Chiarelli, G. Conti, Precorso di Matematica, Seconda edizione, Pearson (2018).

[P2] S. Barbero, S. Mosconi, A. Portaluri, Precorso di Matematica, Pearson (2022).

Testi consigliati per il corso di Analisi Matematica I

• Testi consigliati per la Teoria:

[T1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[T2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[T3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

• Testi consigliati per gli Esercizi:

[E1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[E2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[E3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

[E4] C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 2, Maggioli Editore (2015).

Prove di autovalutazione

Durante il periodo di erogazione delle lezioni verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno il compito di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al Docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante tre modalità.

Modalità A: prove intermedie e prove orali

Sono previste due prove intermedie: la prima al termine del primo periodo didattico e la seconda al termine del secondo periodo didattico. La prima prova intermedia verte sui contenuti del Modulo A, mentre la seconda verte sui contenuti del Modulo B. Ciascuna prova intermedia si compone di una prova scritta e di una prova orale. La prova orale è obbligatoria e si accede ad essa solo dopo aver superato la prova intermedia scritta. Ogni prova intermedia si intende superata se e solo se il colloquio relativo ad essa è stato superato e cioè se lo studente ha ottenuto un punteggio pari ad almeno 18/30. È possibile sostenere la seconda prova intermedia soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova intermedia scritta è di 120 minuti.

Struttura delle prove intermedie scritte.

Ciascuna prova intermedia scritta ha la medesima struttura. In ciascuna prova intermedia scritta verranno proposti cinque esercizi.

Valutazione delle prove intermedie e voto finale.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. Ciascuna prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti. Lo studente che, pur avendo superato la prima prova intermedia, non avesse superato o sostenuto la seconda prova intermedia, potrà completare l'esame seguendo la Modalità B, sostenendo quindi la prova scritta parziale relativa al Modulo B nonché la prova orale dopo aver superato nel suo complesso la prova scritta. In alternativa, lo studente potrà sostenere l'esame completo seguendo la Modalità C.

Ciascuna prova orale verte su tutti gli argomenti del Modulo a cui si riferisce. Nella formulazione del voto finale di ciascuna prova intermedia si tiene conto del voto conseguito nella prova intermedia scritta e della valutazione della prova orale.

Il voto finale è l’arrotondamento per eccesso della media aritmetica dei voti ottenuti nelle due prove intermedie.

Modalità B: prova scritta a moduli e prova orale

La prova scritta è suddivisa in due prove parziali. La prima prova parziale verte sui contenuti del Modulo A, mentre la seconda verte sui contenuti del Modulo B. È possibile sostenere la seconda prova parziale soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova parziale è di 120 minuti. Si precisa che, seguendo tale modalità, le due prove parziali non potranno essere sostenute nel medesimo appello. Superata la prima prova parziale, lo studente potrà sostenere la seconda prova parziale in uno degli appelli successivi e comunque entro e non oltre la terza sessione di esami. La prova orale è obbligatoria e si accede ad essa solo dopo aver superato entrambe le prove parziali.

Struttura delle prove parziali.

Le due prove parziali hanno la stessa struttura. In ciascuna prova parziale verranno proposti cinque esercizi.

Valutazione di ciascuna parte in cui è suddivisa la prova scritta.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova parziale è pari a 30/30. Ognuna delle due prove parziali si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. In ciascuna prova parziale si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti. Il voto finale della prova scritta è l’arrotondamento per eccesso della media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove parziali.

Prova orale e voto finale

Il voto con cui lo studente viene ammesso alla prova orale è l’arrotondamento per eccesso della media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove intermedie. La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto con cui lo studente viene ammesso alla prova orale e della valutazione conseguita nella prova orale.

Modalità C: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, superata essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 120 minuti.

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti cinque esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.

La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.

Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina, l’esposizione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo B dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
• Determinazione della primitiva di una funzione verificante una condizione.
• Studio della convergenza di integrali impropri e calcolo di integrali impropri.
• Studio di funzioni integrali.
• Studio del carattere di serie numeriche.
• Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale ordinaria.
• Determinazione dell'integrale di una equazione differenziale ordinaria verificante una condizione.