ANALISI MATEMATICA II

A fine corso lo studente sapra' calcolare aree di superfici, volumi di solidi, sviluppare in serie alcune funzioni notevoli e trovare soluzioni di particolari tipi di equazioni differenziali ordinarie.

Il corso prepara allo studio delle serie di Fourier ed alle trasformate di Fourier e Laplace.

Lo studente deve almeno conoscere il concetto di limite di una funzione reale di una variabile reale e saper differenziare ed integrare una funzione reale di una variabile reale.

Almeno il 50% di presenze per l'accesso all'esame finale.

N.B.: Gli aromenti contrassegnati con un asterisco devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.

1. Successioni e Serie di Funzioni. *Successioni di funzioni reali di variabile reale. *Convergenza puntuale, convergenza uniforme. Teoremi della continuita', del passaggio al limite sotto il segno d'integrale e di derivata (solo enunciati). *Serie di funzioni. *Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuita', di integrazione per serie e di derivazione per serie (solo enunciati). *Serie di potenze nel campo reale. *Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy--Hadamard. *Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze (solo enunciati). *Serie di Taylor. *Criterio per la Sviluppabilita' in serie di Taylor. *Sviluppi in serie notevoli.

2. Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Elementi di topologia in R^2 e R^3. Insiemi limitati. Aperti connessi. *Limiti e continuita'. Teorema di Weierstrass. *Derivate parziali. Derivate successive. *Teorema di Schwartz (solo enunciato). *Gradiente. *Differenziabilita'. *Differenziabilita' e continuita'. Teorema del differenziale. *Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. *Funzioni a gradiente nullo in un connesso. *Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo.

3. Cenni sulle equazioni differenziali e metodi risolutivi di alcune di esse. Posizione del problema. *Problema di Cauchy. *Proprieta' generali delle equazioni lineari. *Equazioni differenziali lineari del primo ordine. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Caratterizzazione dell'indipendenza di due soluzioni. *Caratterizzazione dell'integrale generale delle equazioni lineari del secondo ordine omogenee. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee. *Metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Equazione di Eulero. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. *Equazione a variabili separabili, *omogenea, *di Bernoulli.

4. Integrali curvilinei e forme differenziali in R^2 e R^3. *Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. *Rettificabilita'. *Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. *Forme differenziali. *Integrale curvilineo di una forma differenziale. *Forme differenziali esatte. *Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. *Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. *Potenziale di una forma differenziale. *Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. *Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R^2 e di R^3.

5. Cenni sull'integrazione in R^2 e R^3 secondo Riemann. Domini normali di R^2. *Integrabilita' su domini normali. *Formule di riduzione per gli integrali doppi. Teorema di Fubini--Tonelli. *Formule di Gauss--Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. *Formule per il calcolo dell'area. *Cambiamento di variabili negli integrali doppi. *Domini normali rispetto a un piano. *Integrali tripli. *Cambiamento di variabili negli integrali tripli.

6. Cenni sulle serie di Fourier. Polinomio trigonometrico. Serie trigonometrica. Convergenza in L^2 di una serie di Fourier.

[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.

[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.

L'esame sara' solo scritto suddiviso in parte pratica della durata di due ore e in parte teorica della durata di un'ora, seguente la parte pratica. La parte pratica dell'esame consta, di norma, di due esercizi. Le due prove vengono espletate nel medesimo appello di esame. La commissione valuta l'intero elaborato ed esprime un unico voto in trentesimi.

Forme differenziali.

Relazione tra derivabilita' e differenziabilita' per una funzione di due variabili.

Estremi condizionati di una funzione.