ANALISI MATEMATICA II
Anno accademico 2021/2022 - 2° annoCrediti: 9
SSD: MAT/05 - Analisi matematica
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 146 di studio individuale, 49 di lezione frontale, 30 di esercitazione
Semestre: 1°
ENGLISH VERSION
Obiettivi formativi
A fine corso lo Studente sapra' calcolare aree di superfici, volumi di solidi, sviluppare in serie alcune funzioni notevoli e trovare soluzioni di particolari tipi di equazioni differenziali ordinarie.
1. Conoscenza e comprensione - Knowledge and understaning: Lo Studente sarà in grado di comprendere e assimilare le definizioni ed i principali risultati dell’analisi matematica di base, per funzioni di più variabili reali, necessari per la trattazione e modellizzazione dei problemi derivanti dalle scienze applicate.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione - Applying Knowledge and understaning: Lo Studente sarà in grado di acquisire un appropriato livello di autonomia nella conoscenza teorica e nell’utilizzo degli strumenti analitici di base. Il corso prepara allo studio delle serie di Fourier ed alle trasformate di Fourier e Laplace.
3. Autonomia di giudizio - Making judgements: Capacità di riflessione e di calcolo. Capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzione di problemi ed esercizi.
4. Abilità comunicative - Communication skills: Capacità di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato.
5. Capacità di apprendimento - Learning skills: Capacità di approfondimento e di sviluppo delle conoscenze acquisite. Capacità di usare criticamente tabelle e strumenti analitici e informatici di calcolo simbolico.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L'insegnamento si svolge mediante lezioni frontali
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del DIEEI.
Prerequisiti richiesti
Lo studente deve almeno conoscere il concetto di limite di una funzione reale di una variabile reale e saper differenziare ed integrare una funzione reale di una variabile reale.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata
Contenuti del corso
N.B.: Gli aromenti contrassegnati con un asterisco devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.
1. Successioni e Serie di Funzioni. *Successioni di funzioni reali di variabile reale. *Serie di funzioni. *Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuita', di integrazione per serie e di derivazione per serie (solo enunciati). *Serie di potenze nel campo reale. *Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy--Hadamard. *Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze (solo enunciati). *Serie di Taylor. *Criterio per la Sviluppabilita' in serie di Taylor. *Sviluppi in serie notevoli.
2. Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Elementi di topologia in R^2 e R^3. Insiemi limitati. Aperti connessi. *Limiti e continuita'. Teorema di Weierstrass. *Derivate parziali. Derivate successive. *Teorema di Schwartz (solo enunciato). *Gradiente. *Differenziabilita'. *Differenziabilita' e continuita'. Teorema del differenziale. *Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. *Funzioni a gradiente nullo in un connesso. *Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo.
3. Cenni sulle equazioni differenziali e metodi risolutivi di alcune di esse. Posizione del problema. *Problema di Cauchy. *Proprieta' generali delle equazioni lineari. *Equazioni differenziali lineari del primo ordine. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Caratterizzazione dell'indipendenza di due soluzioni. *Caratterizzazione dell'integrale generale delle equazioni lineari del secondo ordine omogenee. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee. *Metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Equazione di Eulero. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. *Equazione a variabili separabili, *omogenea, *di Bernoulli.
4. Integrali curvilinei e forme differenziali in R^2 e R^3. *Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. *Rettificabilita'. *Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. *Forme differenziali. *Integrale curvilineo di una forma differenziale. *Forme differenziali esatte. *Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. *Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. *Potenziale di una forma differenziale. *Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. *Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R^2 e di R^3.
5. Cenni sull'integrazione in R^2 e R^3 secondo Riemann. Domini normali di R^2. *Integrabilita' su domini normali. *Formule di riduzione per gli integrali doppi. Teorema di Fubini--Tonelli. *Formule di Gauss--Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. *Formule per il calcolo dell'area. *Cambiamento di variabili negli integrali doppi. *Domini normali rispetto a un piano. *Integrali tripli. *Cambiamento di variabili negli integrali tripli.
6. Cenni sulle serie di Fourier. Polinomio trigonometrico. Serie trigonometrica. Convergenza in L^2 di una serie di Fourier.
Testi di riferimento
[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.
[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.
Programmazione del corso
Argomenti | Riferimenti testi | |
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1 | Metodi risolutivi di equazioni differenziali ordinarie | [1], cap. 1, 12 ore |
2 | Calcolo infinitesimale per le curve | [1], cap. 2, 7 ore |
3 | Calcolo differenziale per funzioni reali di piu' variabili reali | [1], cap 3, 12 ore |
4 | Estremi liberi e vincolati di una funzione di piu' variabili | [1], capp. 3- 4, 12 ore |
5 | Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili | [1], cap. 5, 12 ore |
6 | Campi vettoriali e forme differenziali | [1], cap. 6, 12 ore |
7 | Serie di potenze e serie di Fourier | [1], cap. 7, 12 ore |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
1. Viene somministrata una sola prova in itinere scritta (denominata prova o sezione A) composta da quesiti teorici e pratici concernenti la parte di programma trattata fino a quel momento
2. L'esame finale consiste in un elaborato scritto suddiviso in due sezioni: A (con gli argomenti trattati fino alla prova in itinere) e B contenente quesiti pratici e teorici concernenti la parte del programma trattato successivamente alla prova A
3. Il superamento della prova in itinere permette allo studente di essere esonerato dallo svolgere i quesiti della sezione A nell’esame finale (aumentando, quindi, il tempo a propria disposizione negli appelli del corrente Anno Accademico)
4. Possono accedere all'esame finale anche coloro che non hanno superato la prova in itinere, ma in questo caso dovranno svolgere sia i quesiti della sezione A sia i quesiti della sezione B dell'esame finale
5. I benefici del superamento della prova in itinere restano validi fino al termine della terza sessione di esami del corrente Anno Accademico.
N.B.: I benefici del superamento della prova in itinere si annullano nel caso di insufficienza complessiva dell'esame finale a cui si partecipa. In questo caso, per i restanti appelli si dovranno svolgere gli esercizi di entrambe le sezioni dell'esame finale.
La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.
Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Forme differenziali (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding)
Relazione tra derivabilita' e differenziabilita' per una funzione di due variabili (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).
Estremi condizionati di una funzione (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).