ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A - E
Anno accademico 2023/2024 - Docente: CARMELO ANTONIO FINOCCHIARORisultati di apprendimento attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): definizioni e teoremi riguardanti i concetti fondamentali degli spazi vettoriali, applicazioni lineari ed endomorfismi, costruzioni di base e teoremi riguardanti rette e piani nello spazio e le coniche nel piano, definizioni e teoremi inerenti la classificazione delle quadriche.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): saper calcolare il rango di una matrice, con o senza parametro, sapere studiare uno spazio vettoriale, sapere fare lo studio di un'applicazione lineare, saper determinare autovalori e autovettori di endomorfismi, sapere fare la diagonalizzazione di una matrice, essere in grado di risolvere problemi di geometria lineare, sapere classificare le coniche e le quadriche.
3. Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati e alla fine del corso sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi. Sarà, inoltre, fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
4. Abilità comunicative (communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico e ad acquisire il linguaggio specifico dell'algebra lineare e della geometria. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
5. Capacità di apprendimento (learning skills): Il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio e il rigore logico che gli saranno necessari nel prosieguo degli studi. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Frequenza lezioni
Contenuti del corso
Algebra Lineare:
1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture geometriche: gruppi, anelli, campi.
2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.
3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Matrici elementari. Prodotto di matrici. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.
6. Determinanti e loro proprietà*. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet*. Teorema di Cramer*. Teorema di Kronecker*.
7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili.
Geometria:
1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani.
3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.
Testi di riferimento
1. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
2. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
3. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.
4. E. Sernesi. Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000.
5. Note del docente
Programmazione del corso
Argomenti | Riferimenti testi | |
---|---|---|
1 | Introduzione alla teoria degli insiemi. Introduzione ai campi e spazi vettoriali. Determinante di una matrice. Calcolo del rango e riduzione di una matrice. Risoluzione dei sistemi lineari. | 3-5 |
2 | Operazioni con le matrici. | 3-5 |
3 | Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. | 3-5 |
4 | Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base da un sistema di generatori e completamento a base di un insieme linearmente indipendente. | 3-5 |
5 | Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione lineare. | 3-5 |
6 | Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con applicazioni lineari. | 3-5 |
7 | Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili. Diagonalizzazione di una matrice. | 3-5 |
8 | Applicazioni lineari soddisfacenti determinate condizioni. | 3-5 |
9 | Generalità sul calcolo vettoriale. Assegnazione di una retta e di un piano e loro equazioni. Intersezioni. Parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette e piani. Distanze. | 4-5 |
10 | Angoli. Proiezioni ortogonali. Rette bisettrici e piani bisettori. Simmetrie. Luoghi di rette. | 4-5 |
11 | Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano, invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica. Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche. | 4-5 |
12 | Studio completo delle coniche. | 4-5 |
13 | Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di una quadrica e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle quadriche non degeneri. | 4-5 |
14 | Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere e circonferenze nello spazio. | 4-5 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova d'esame è composta da una prova scritta (la cui durata è di norma 3 ore) e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta. La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Esercizi di Algebra Lineare
1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della diagonalizzabilità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando possibile, una base di autovettori.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sistema lineare, al variare del parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.
4. Esercizi sugli spazi vettoriali e sulla loro dimensione, su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte, restrizioni ed estensioni.
Esercizi di Geometria
1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una conica. Coniche sotto condizione.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica intersezione di una quadrica con un piano.
Sono possibili semplici esercizi a carattere teorico. Sapere dimostrare o confutare un enunciato di Algebra Lineare o Geometria.