ANALISI MATEMATICA I A - E

Modulo MODULO B

L’insegnamento di Analisi Matematica I - Modulo B ha la finalità di fornire le conoscenze di base sul Calcolo Differenziale e sul Calcolo Integrale per funzioni reali di una variabile reale e su alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie.

In particolare, gli obiettivi del suddetto insegnamento, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: le derivate e gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale e alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei testi consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che, relativamente al Modulo B dell’insegnamento, sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Degli argomenti contrassegnati con un asterisco, non si richiedono le dimostrazioni. 

• Definizione di funzione derivabile e di derivata. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di derivata prima. Legame tra continuità e derivabilità. Prima formula dell'incremento finito. Derivate delle funzioni elementari. Derivate laterali. Punti di non derivabilità. Definizione di differenziale. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. 
• Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale e loro conseguenze. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Cauchy, Teorema di Lagrange e sue conseguenze (seconda formula dell'incremento finito, Teorema di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla su un intervallo, Test di monotonia e ricerca degli estremi locali, Test per la ricerca dei punti di minimo e di massimo, Teorema di caratterizzazione delle funzioni strettamente monotone). Teoremi di De L'Hôpital. Teorema sul limite della derivata. Limite della derivata e punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano* e formula di Taylor con resto di Lagrange*. Funzioni concave e funzioni convesse: funzioni concave e funzioni convesse con l'ipotesi di derivabilità, punti di flesso, Teorema di caratterizzazione della concavità e della convessità tramite la monotonia della derivata prima, Condizione necessaria per i punti di flesso, Legame tra la concavità-convessità e il segno della derivata seconda, definizione generale di funzione convessa e di funzione concava, test per la ricerca dei punti di flesso. Criteri delle derivate successive per il riconoscimento dei punti stazionari. Studio qualitativo del grafico di una funzione. 
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Approssimazioni di funzioni e di dati: climatologia, finanza, biomeccanica, robotica. Approssimazione con i polinomi di Taylor. Interpolazione polinomiale. Differenziazione numerica: problema ed esempi (idraulica, riconoscimento dei contorni, ottica, elettromagnetismo, demografia). Approssimazione delle derivate. Ricerca dei punti di minimo di una funzione reale di una variabile reale tramite il metodo della sezione aurea e dell'interpolazione quadratica.

• Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Alcuni integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali fratte. Integrali trigonometrici. Integrali di funzioni irrazionali.
• Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann: le funzioni continue e le funzioni monotone. Proprietà dell'integrale secondo Riemann. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Integrazione per parti e integrazione per sostituzione per integrali definiti.
• Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Integrazione numerica: formula del punto medio, formula del trapezio, formula di Simpson.

• Esempi di equazioni differenziali e loro interpretazione. 
• Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine: definizione di equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale, di soluzione (risp. soluzione massimale) di un problema di Cauchy associato ad una tale equazione, di integrale generale e di integrale particolare. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili: definizione, ricerca dell’integrale generale, teorema di esistenza e unicità della soluzione massimale di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili*. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: teorema di struttura dell’integrale generale di una equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine, teorema di esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale lineare del primo ordine*. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: definizione, equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti: combinazioni lineari di soluzioni, funzioni linearmente dipendenti e funzioni linearmente indipendenti, teorema di struttura dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti, teorema di esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti*. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti: teorema di struttura dell’integrale generale, metodo di somiglianza, principio di sovrapposizione, teorema di esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti*.  Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti*. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie*.
• Complementi*. Altri tipi di equazioni differenziali ordinarie.
• Esempi al calcolatore. Metodi di Eulero e metodo di Crank-Nicolson. 

Testi consigliati per i Prerequisiti

[P1] G. Anichini, A. Carbone, P. Chiarelli, G. Conti, Precorso di Matematica, Seconda edizione, Pearson (2018).

[P2] S. Barbero, S. Mosconi, A. Portaluri, Precorso di Matematica, Pearson (2022).

[P3] A. Iannucci, F. Longo, Unitutor TOLC-I Ingegneria. Test di ammissione per Ingegneria, Scienze informatiche, Scienze statistiche e Scienza dei materiali, Zanichelli (2023).

Testi consigliati per il corso di Analisi Matematica I

• Testi consigliati per la Teoria:

[T1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[T2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[T3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

• Testi consigliati per gli Esercizi:

[E1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[E2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[E3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

[E4] C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 2, Maggioli Editore (2015).

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità.

Modalità 1: prove intermedie scritte e prova orale obbligatoria (vedasi anche Modulo A)  

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

Modalità 1: seconda prova 

Al termine delle lezioni previste dal Modulo B verrà proposta agli studenti una seconda prova intermedia. È possibile sostenere la seconda prova intermedia scritta soltanto se è stata precedentemente superata la prima. 

Date delle prove intermedie.

Le date delle prove intermedie scritte sono reperibili nel sito web del corso di laurea. Lo studente potrà sostenere tale prova in occasione di uno degli appelli della Seconda Sessione d’Esami o della Terza Sessione d’Esami.

Struttura della seconda prova intermedia scritte.

Nella seconda prova scritta verranno proposti quattro esercizi. La durata della prova intermedia scritta è di 120 minuti.

Superate entrambe le prove intermedie scritte, è prevista una prova orale obbligatoria che verte esclusivamente sui contenuti del Modulo B (con l'ovvia precisazione che definizioni e enunciati dei teoremi del modulo A che intervengono nel modulo B vanno ricordati).

Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame che terrà conto, laddove ciò sia possibile, delle eventuali preferenze espresse dagli studenti.

Valutazione delle prove intermedie e voto finale.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. Ciascuna prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti.

Nella formulazione del voto finale si tiene conto dei voti conseguiti nelle due prove intermedie scritte e della valutazione della prova orale.

Le prove intermedie, se superate, saranno valide sino al completamento della terza sessione di esami (secondo appello di settembre).

Casi particolari

Nel caso in cui la prova orale non fosse sufficiente, la Commissione d’Esami indicherà allo Studente una ulteriore data utile in cui sarà possibile sostenere ex novo tale prova. Non sarà necessario sostenere nuovamente le prove intermedie scritte.

In alternativa, lo studente potrà sostenere l’esame seguendo la Modalità 2: lo studente che non avesse superato o sostenuto la prima prova intermedia dovrà sostenere l’esame seguendo la Modalità 2.

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, se superata, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 120 minuti.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea. 

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti quattro esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B). Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.

La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.

Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari). 

La prova orale e i quesiti di teoria previsti nella prova intermedia scritta relativa al Modulo B dell’insegnamento di Analisi Matematica I vertono su tutti i contenuti di teoria esposti nel Syllabus (si veda la sezione di “Contenuti del corso”).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo B dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti (si veda Studium per esempi di testi d'esame, esercizi svolti, etc):

• Studio di funzioni e applicazioni.
• Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
• Determinazione della primitiva di una funzione verificante una condizione.
• Studio della convergenza di integrali impropri e calcolo di integrali impropri.
• Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale ordinaria (a variabili separabili, lineare del primo ordine, del secondo ordine, di ordine n o equazioni ad esse riconducibili).