ANALISI MATEMATICA I

Modulo MODULO A

L’insegnamento di Analisi Matematica I - Modulo A ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi e sul Calcolo Differenziale per funzioni reali di una variabile reale.

In particolare, gli obiettivi del suddetto insegnamento, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei testi consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Le lezioni sono integrate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che, relativamente al Modulo A dell’insegnamento, sono previste 35 ore di teoria e 15 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di base di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria.

A supporto di tutti gli studenti che volessero ripassare i prerequisiti richiesti, si suggerisce il MOOC (Massive Open Online Courses) di matematica di base. Il MOOC di matematica di base è un corso online, ad accesso libero e gratuito, prodotto e pubblicato dal CISIA per fornire a studenti e studentesse del quarto e del quinto anno della Scuola Secondaria Superiore un ausilio per accrescere la preparazione in matematica e per affrontare al meglio i corsi di laurea. Le aree scientifiche per cui è stato realizzato il MOOC di Matematica di base sono agraria, economia, farmacia, ingegneria e scienze. I capitoli che lo compongono variano a seconda dell’area scientifica di interesse. Gli argomenti che compongono il MOOC di matematica di base si basano sui sillabi di riferimento delle sezioni di matematica dei test d’ingresso CISIA.

Per frequentare il MOOC  è necessario accedere all’area riservata TOLC e all’area esercitazione e posizionamento sul sito del CISIA, da cui si viene reindirizzati alla piattaforma Federica Weblearning.

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Degli argomenti contrassegnati con un asterisco, non si richiedono le dimostrazioni.

1. Insiemi numerici. 
• Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Generalità sull'insieme N dei numeri naturali, sull'insieme Z dei numeri interi e sull'insieme Q dei numeri razionali. L'insieme R dei numeri reali. Alcune conseguenze degli assiomi sui numeri reali*. Intervalli. Valore assoluto di un numero reale. Estremi di un insieme numerico. L'insieme N. Proprietà di Archimede*. Densità di Q e di R-Q in R *. Potenze con esponente reale*.
• Numeri complessi. Definizioni di base. Ordinamento totale. Coordinate polari nel piano. Forma trigonometrica di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma trigonometrica. Forma esponenziale di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso. Equazioni algebriche.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Numeri floating-point, aritmetica esatta e aritmetica floating-point, numeri complessi.
2. Funzioni e limiti.
   
• Funzioni. Definizioni di base sulle funzioni. Funzione composta. Funzione inversa. Funzioni reali di una variabile reale: funzioni monotone, funzioni affini e funzioni lineari, funzioni pari e funzioni dispari, funzioni dispari, funzioni limitate e funzioni illimitate, punti di minimo e di massimo globale. Operazioni con le funzioni. 
• Limiti. Topologia di R. Punti di minimo e di massimo locale. Limiti. Teoremi sui limiti. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teoremi del confronto. Limiti laterali e teorema sul limite delle funzioni monotone*. Teorema sul limite della funzione composta*. Successioni numeriche: definizioni di base, limiti, caratterizzazione sequenziale del limite di funzione*, successioni estratte. 
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Definizione di funzioni, anonymous function, function handle, user-defined function, rappresentazione grafica di funzioni.
  
3. Funzioni continue e confronto locale.
   
• Funzioni continue. Definizione di funzione continua e risultati di base. Continuità delle funzioni elementari e operazioni tra funzioni continue. Punti di singolarità: singolarità eliminabile, singolarità di prima e di seconda specie. Proprietà delle funzioni continue: proprietà locali e proprietà globali. Teorema di esistenza degli zeri e sua generalizzazione, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Iniettività e stretta monotonia per funzioni continue. Teorema di continuità della funzione inversa*. Numero di Nepero*. Limiti notevoli.
• Confronto locale tra funzioni. Simboli di Bachmann-Landau, confronto tra infinitesimi e infiniti. Asintoti. Funzioni uniformemente continue.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Equazioni non lineari: piano di investimento, equazione di stato di un gas, dinamica delle popolazioni, metodo di bisezione, metodo di Newton, iterazioni di punto fisso.
4. Calcolo differenziale
   

• Definizione di funzione derivabile e di derivata. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di derivata prima. Legame tra continuità e derivabilità. Prima formula dell'incremento finito. Derivate delle funzioni elementari. Derivate laterali. Punti di non derivabilità. Definizione di differenziale. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. 
• Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale e loro conseguenze. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze (seconda formula dell'incremento finito, Teorema di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla su un intervallo, Test di monotonia e ricerca degli estremi locali, Test per la ricerca dei punti di minimo e di massimo, Teorema di caratterizzazione delle funzioni strettamente monotone). Teoremi di De L'Hôpital*. Teorema sul limite della derivata. Limite della derivata e punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano* e formula di Taylor con resto di Lagrange*. Funzioni concave e funzioni convesse: funzioni concave e funzioni convesse con l'ipotesi di derivabilità, punti di flesso, Teorema di caratterizzazione della concavità e della convessità tramite la monotonia della derivata prima, Condizione necessaria per i punti di flesso, Legame tra la concavità-convessità e il segno della derivata seconda, definizione generale di funzione convessa e di funzione concava, test per la ricerca dei punti di flesso. Criteri delle derivate successive per il riconoscimento dei punti stazionari. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Approssimazioni di funzioni e di dati: climatologia, finanza, biomeccanica, robotica. Approssimazione con i polinomi di Taylor. Interpolazione polinomiale. Differenziazione numerica: problema ed esempi (idraulica, riconoscimento dei contorni, ottica, elettromagnetismo, demografia). Approssimazione delle derivate. Ricerca dei punti di minimo di una funzione reale di una variabile reale tramite il metodo della sezione aurea e dell'interpolazione quadratica.

Testi consigliati per i Prerequisiti

[P1] G. Anichini, A. Carbone, P. Chiarelli, G. Conti, Precorso di Matematica, Seconda edizione, Pearson (2018).

[P2] S. Barbero, S. Mosconi, A. Portaluri, Precorso di Matematica, Pearson (2022).

[P3] A. Iannucci, F. Longo, Unitutor TOLC-I Ingegneria. Test di ammissione per Ingegneria, Scienze informatiche, Scienze statistiche e Scienza dei materiali, Zanichelli (2023).

Testi consigliati per il corso di Analisi Matematica I

• Testi consigliati per la Teoria:

[T1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[T2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[T3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

• Testi consigliati per gli Esercizi:

[E1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[E2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[E3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

[E4] C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 1, Maggioli Editore (2015).

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità.

Modalità 1: prove intermedie scritte e prova orale

Sono previste due prove intermedie scritte: la prima relativa al Modulo A e la seconda relativa al Modulo B.

Superate entrambe le prove intermedie scritte, è prevista una prova orale obbligatoria che verte principalmente sui contenuti delle prove intermedie scritte. Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame che terrà conto, laddove ciò sia possibile, delle eventuali preferenze espresse dagli studenti.

 

Nel caso in cui la prova orale non fosse sufficiente, la Commissione d’Esami indicherà allo Studente una ulteriore data utile in cui sarà possibile sostenere ex novo tale prova. Non sarà necessario sostenere nuovamente le prove intermedie scritte.

È possibile sostenere la seconda prova intermedia scritta soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova intermedia scritta è di 180 minuti. 

Sono previste tre date utili per la prova intermedia scritta relativa al Modulo A: due all’interno della Prima Sessione d’Esami e una nel periodo di sospensione delle attività didattiche previsto nel mese di Aprile 2024. La seconda prova intermedia verrà svolta al termine del secondo periodo di Attività Formativa. Tutte le date delle suddette prove sono regolarmente inserite nel Calendario degli Esami consultabile nella pagina web del corso di laurea.

 

Lo studente che, pur avendo superato la prima prova intermedia, non avesse superato o sostenuto la seconda prova intermedia prevista al termine del secondo periodo di Attività Formativa, potrà sostenere tale prova in occasione di uno degli appelli della Seconda Sessione d’Esami o della Terza Sessione d’Esami. In alternativa, lo studente potrà sostenere l’esame seguendo la Modalità 2.

 

Lo studente che non avesse superato o sostenuto la prima prova intermedia dovrà sostenere l’esame seguendo la Modalità 2.

Date delle prove intermedie.

Le date delle prove intermedie scritte sono reperibili nel sito web del corso di laurea.

Struttura delle prove intermedie scritte.

Ciascuna prova intermedia scritta ha la medesima struttura. In ciascuna prova intermedia scritta verranno proposti tre quesiti di teoria e quattro esercizi.

Valutazione delle prove intermedie e voto finale.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. Ciascuna prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risponde correttamente a due quesiti di teoria e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti.

Nella formulazione del voto finale si tiene conto dei voti conseguiti nelle due prove intermedie scritte e della valutazione della prova orale.

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, superata essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 180 minuti.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea.

 

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti cinque esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B). Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame che terrà conto, laddove ciò sia possibile, delle eventuali preferenze espresse dagli studenti.

 

Nel caso in cui la prova orale non fosse sufficiente, la Commissione d’Esame indicherà allo Studente una ulteriore data utile in cui sarà possibile sostenere ex novo tale prova. Non sarà necessario sostenere nuovamente la prova scritta.

 

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

La prova orale e i quesiti di teoria previsti nella prova intermedia scritta relativa al Modulo A dell’insegnamento di Analisi Matematica I vertono su tutti i contenuti di teoria esposti nel Syllabus (si veda la sezione di “Contenuti del corso”).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo A dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Ricerca degli estremi di un insieme numerico.
• Esercizi sui numeri complessi (manipolazioni algebriche, scrittura di numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, determinazione delle radici n-esime di numeri complessi, rappresentazioni di luoghi geometrici nel piano di Argand-Gauss, equazioni nel campo complesso).
• Calcolo di limiti.
• Studio della continuità e della derivabilità - e calcolo di derivate - di funzioni reali di una variabile reale. Classificazione dei punti di singolarità e dei punti di non derivabilità. 
• Questioni riguardanti l’invertibilità di funzioni e calcolo della derivata delle funzioni inverse.
• Studio di funzione e applicazioni (studio di una funzione e relativo grafico qualitativo, dimostrazione dell’esistenza di soluzioni di equazioni non lineari).