ANALISI MATEMATICA I

Modulo MODULO B

Le lezioni sono integrate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che, relativamente al Modulo B dell’insegnamento, sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria e conoscenza dei contenuti trattati nel Modulo A.

A supporto di tutti gli studenti che volessero ripassare i prerequisiti di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica e Trigonometria, si suggerisce il MOOC (Massive Open Online Courses) di matematica di base. Il MOOC di matematica di base è un corso online, ad accesso libero e gratuito, prodotto e pubblicato dal CISIA per fornire a studenti e studentesse del quarto e del quinto anno della Scuola Secondaria Superiore un ausilio per accrescere la preparazione in matematica e per affrontare al meglio i corsi di laurea. Le aree scientifiche per cui è stato realizzato il MOOC di Matematica di base sono agraria, economia, farmacia, ingegneria e scienze. I capitoli che lo compongono variano a seconda dell’area scientifica di interesse. Gli argomenti che compongono il MOOC di matematica di base si basano sui sillabi di riferimento delle sezioni di matematica dei test d’ingresso CISIA.

Per frequentare il MOOC  è necessario accedere all’area riservata TOLC e all’area esercitazione e posizionamento sul sito del CISIA, da cui si viene reindirizzati alla piattaforma Federica Weblearning.

 

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è è fortemente consigliata.

Degli argomenti contrassegnati con un asterisco, non si richiedono le dimostrazioni.

1. Calcolo Integrale
• Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Alcuni integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali fratte. Integrali trigonometrici. Integrali di funzioni irrazionali.
• Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale secondo Riemann*. Integrale esteso ad un intervallo orientato*. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Integrazione per parti e integrazione per sostituzione per integrali definiti.
• Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Integrazione numerica: formula del punto medio, formula del trapezio, formula di Simpson.
2. Equazioni differenziali ordinarie.
• Problemi descritti da equazioni differenziali. 
• Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine: definizione di equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale, di soluzione (risp. soluzione massimale) di un problema di Cauchy associato ad una tale equazione, di integrale generale e di integrale particolare. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili: definizione, ricerca dell’integrale generale, teorema di esistenza e unicità della soluzione massimale di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili*. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: teorema di struttura dell’integrale generale di una equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine, teorema di esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale lineare del primo ordine*. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: definizione, equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti: combinazioni lineari di soluzioni, funzioni linearmente dipendenti e funzioni linearmente indipendenti, teorema di struttura dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti, teorema di esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti*. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti: teorema di struttura dell’integrale generale, metodo di somiglianza, principio di sovrapposizione, teorema di esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy associato ad una equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti*.  Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti*. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie*.
• Complementi*. Altri tipi di equazioni differenziali ordinarie.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Metodi di Eulero e metodo di Crank-Nicolson.
3. Serie numeriche.
• Definizioni di base. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche. Criteri di convergenza per tutte le serie numeriche: aggiunta, eliminazione e modifica di un numero finito di termini di una serie numerica, algebra delle serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.
• Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto, applicazione del criterio del confronto allo studio della serie armonica, criterio del confronto asintotico, criterio della radice. Un criterio di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy* e sue applicazioni allo studio della serie armonica generalizzata e della serie di Bertrand. Criterio di Maclaurin e applicazioni.
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz e suoi corollari.
• Criterio della convergenza assoluta.
• Complementi*. Riordinamento di una serie, prodotto di due serie, Criterio di Raabe, criteri di convergenza di Cauchy per successioni e serie.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Serie geometrica e frattali.

Testi consigliati per i Prerequisiti

[P1] G. Anichini, A. Carbone, P. Chiarelli, G. Conti, Precorso di Matematica, Seconda edizione, Pearson (2018).

[P2] S. Barbero, S. Mosconi, A. Portaluri, Precorso di Matematica, Pearson (2022).

[P3] A. Iannucci, F. Longo, Unitutor TOLC-I Ingegneria. Test di ammissione per Ingegneria, Scienze informatiche, Scienze statistiche e Scienza dei materiali, Zanichelli (2023).

Testi consigliati per il corso di Analisi Matematica I

• Testi consigliati per la Teoria:

[T1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[T2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[T3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

• Testi consigliati per gli Esercizi:

[E1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[E2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[E3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

[E4] C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 2, Maggioli Editore (2015).

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità.

Modalità 1: prove intermedie scritte e prova orale

Sono previste due prove intermedie scritte: la prima relativa al Modulo A e la seconda relativa al Modulo B.

 

Superate entrambe le prove intermedie scritte, è prevista una prova orale obbligatoria che verte principalmente sui contenuti delle prove intermedie scritte. Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame che terrà conto, laddove ciò sia possibile, delle eventuali preferenze espresse dagli studenti.

 

Nel caso in cui la prova orale non fosse sufficiente, la Commissione d’Esami indicherà allo Studente una ulteriore data utile in cui sarà possibile sostenere ex novo tale prova. Non sarà necessario sostenere nuovamente le prove intermedie scritte.

È possibile sostenere la seconda prova intermedia scritta soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova intermedia scritta è di 180 minuti. 

Sono previste tre date utili per la prova intermedia scritta relativa al Modulo A: due all’interno della Prima Sessione d’Esami e una nel periodo di sospensione delle attività didattiche previsto nel mese di Aprile 2024. La seconda prova intermedia verrà svolta al termine del secondo periodo di Attività Formativa. Tutte le date delle suddette prove sono regolarmente inserite nel Calendario degli Esami consultabile nella pagina web del corso di laurea.

 

Lo studente che, pur avendo superato la prima prova intermedia, non avesse superato o sostenuto la seconda prova intermedia prevista al termine del secondo periodo di Attività Formativa, potrà sostenere tale prova in occasione di uno degli appelli della Seconda Sessione d’Esami o della Terza Sessione d’Esami. In alternativa, lo studente potrà sostenere l’esame seguendo la Modalità 2.

Lo studente che non avesse superato o sostenuto la prima prova intermedia dovrà sostenere l’esame seguendo la Modalità 2.

Date delle prove intermedie.

Le date delle prove intermedie scritte sono reperibili nel sito web del corso di laurea.

Struttura delle prove intermedie scritte.

Ciascuna prova intermedia scritta ha la medesima struttura. In ciascuna prova intermedia scritta verranno proposti tre quesiti di teoria e quattro esercizi.

Valutazione delle prove intermedie e voto finale.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. Ciascuna prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risponde correttamente a due quesiti di teoria e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti.

Nella formulazione del voto finale si tiene conto dei voti conseguiti nelle due prove intermedie scritte e della valutazione della prova orale.

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, superata essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 180 minuti.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea.

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti cinque esercizi.

 

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B). Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame che terrà conto, laddove ciò sia possibile, delle eventuali preferenze espresse dagli studenti.

 

Nel caso in cui la prova orale non fosse sufficiente, la Commissione d’Esame indicherà allo Studente una ulteriore data utile in cui sarà possibile sostenere ex novo tale prova. Non sarà necessario sostenere nuovamente la prova scritta.

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.

 

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.

La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.

Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

La prova orale e i quesiti di teoria previsti nella prova intermedia scritta relativa al Modulo B dell’insegnamento di Analisi Matematica I vertono su tutti i contenuti di teoria esposti nel Syllabus (si veda la sezione di “Contenuti del corso”).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo B dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
• Determinazione della primitiva di una funzione verificante una condizione.
• Studio della convergenza di integrali impropri e calcolo di integrali impropri.
• Studio di funzioni integrali.
• Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale ordinaria (a variabili separabili, lineare del primo ordine, del secondo ordine, di ordine n o equazioni ad esse riconducibili).
• Determinazione dell'integrale di una equazione differenziale ordinaria (a variabili separabili, lineare del primo ordine, del secondo ordine, di ordine n o equazioni ad esse riconducibili) verificante opportune condizioni.
• Studio del carattere di serie numeriche.