ANALISI MATEMATICA II

L’insegnamento di Analisi Matematica II ha la finalità di fornire le conoscenze di base sui seguenti argomenti principali: funzioni di più variabili reali, sulla nozione di limite e di continuità per funzioni di più variabili reali, calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali, calcolo integrale per funzioni di più variabili reali, curve, superfici, campi vettoriali (risp. forme differenziali), successioni di funzioni, serie di funzioni.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni concetti relativi alle funzioni di più variabili e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica relativa alle funzioni di più variabili reali: fra questi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale, integrali multipli, campi vettoriali.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Sono previste lezioni di teoria ed esercitazioni relative agli argomenti svolti. Le lezioni di teoria e le esercitazioni si svolgeranno in modalità frontale.

Sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

È indispensabile la padronanza dei contenuti dell’insegnamento di Analisi Matematica I. 

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria (si veda il Regolamento Didattico del Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale) ma è fortemente consigliata. La partecipazione attiva alle attività didattiche è estremamente utile ai fini del raggiungimento degli obiettivi formativi.

Serie di potenze.

Definizione di serie di potenze, raggio di convergenza. insieme di convergenza puntuale di una serie di potenze, Teorema della radice (o di Cauchy-Hadamard), Teorema del rapporto (o di D’Alembert), continuità della somma di una serie di potenze, teoremi di integrazione e derivazione termine a termine per le serie di potenze. Sviluppo in serie di Taylor.

Funzioni di più variabili: introduzione, limiti e continuità.  

Topologia di Rⁿ. Funzioni scalari di più variabili reali. Funzioni vettoriali di più variabili reali. Campi vettoriali. Definizioni di limite per funzioni di più variabili reali. Teoremi sui limiti. Definizione di funzione continua. Proprietà delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. 

Derivate parziali. Gradiente. Derivate direzionali. Differenziabilità. Relazione tra differenziabilità, continuità ed esistenza delle derivate parziali. Derivate delle funzioni composte. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Interpretazione geometrica delle derivate parziali di una funzione in un punto. Differenziabilità ed esistenza del piano (o iperpiano) tangente al grafico di una funzione. Derivate successive. Teorema di Schwartz. Matrice hessiana. Funzioni con gradiente nullo su un insieme connesso. Formula di Taylor. 

Ottimizzazione libera. Generalità sulle forme quadratiche, sulle matrici definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi locali liberi. Teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per estremi liberi. 

Ottimizzazione vincolata. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Derivabilità della funzione implicita. Estremi vincolati e Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. 

Applicazioni. Equazione della retta dei minimi quadrati. Ottimizzazione libera in Economia. Ottimizzazione della produzione. Problema del consumatore.

Integrali multipli.  

Introduzione. Misura di un insieme. Insiemi misurabili e insiemi trascurabili. Integrale multiplo di una funzione limitata. Proprietà dell’integrale multiplo.

Integrali doppi. Integrazione di una funzione continua su un insieme normale rispetto all’asse x e su un insieme normale rispetto all’asse y. Teorema del cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari e coordinate ellittiche nel piano.

Integrali tripli. Integrazione per fili paralleli ad un asse coordinato e per strati paralleli ad un piano coordinato. Teorema del cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate polari (o sferiche) e coordinate cilindriche nello spazio.

Applicazioni. Massa, baricentro, momento di inerzia e volume di un solido di rotazione.

Integrali su curve e superfici.

Curve parametriche. Definizione di curva parametrica, sostegno di una curva, curva semplice, curva chiusa, curva regolare, curva regolare a tratti, vettore tangente ad una curva in un punto, orientamento indotto da una curva sul sostegno, curve equivalenti. Proprietà delle curve parametriche equivalenti. Curve rettificabili, lunghezza di una curva, teorema di rettificabilità delle curve di classe C¹. Ascissa curvilinea.

Integrali curvilinei. Integrale curvilineo di prima specie (integrale curvilineo di prima specie di una funzione reale continua). Indipendenza dell’integrale curvilineo di prima specie dalla parametrizzazione. Integrale di linea (o integrale curvilineo di seconda specie). Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva. Dipendenza dell’integrale di linea di un campo vettoriale dall’orientamento indotto dalla parametrizzazione sulla curva.

Superfici parametriche. Superfici parametriche in R³, definizione di superficie parametrica, sostegno, superficie semplice e regolare, calotta regolare. Piano tangente ad una superficie in un punto. Vettore normale e versore normale ad una superficie in un punto. Orientamento indotto da una superficie sul sostegno. Superfici equivalenti. Proprietà delle superfici equivalenti.

Integrali di superficie e di flusso. Integrale di superficie (o superficiale) di una funzione reale continua su una superficie. Area di una calotta regolare. Area del grafico di una funzione di due variabili reali. Indipendenza dell’integrale superficiale di una funzione dalla parametrizzazione della superficie. Integrale di flusso o flusso di un campo vettoriale continuo attraverso una superficie. Dipendenza dell’integrale di flusso di un campo vettoriale dall’orientamento indotto dalla parametrizzazione sulla superficie.

Teoremi di Green, Stokes, Gauss. Teorema di Green, Teorema di Stokes (o del rotore), Teorema di Gauss (o della divergenza) e loro applicazioni.

Contributo dell'insegnamento agli obiettivi dell'Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile:

GOAL 4: Istruzione di qualità. Fornire un’educazione di qualità, equa e inclusiva, promuovere opportunità di apprendimento permanente per tutti.

[1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 2, Pearson (2021).

[2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 2. Secondo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2024).

L’esame di Analisi Matematica II potrà essere superato mediante due modalità:

Modalità 1: prove parziali scritte e prova orale;

Modalità 2: una prova scritta e una prova orale.

Segue la descrizione delle modalità d’esame.

Modalità 1: 

La Modalità 1 prevede due prove parziali scritte. È possibile sostenere la seconda prova parziale solo se è stata superata la primz. Superate entrambe le prove parziali scritte, lo Studente dovrà sostenere una prova orale. Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame.

Date delle prove parziali scritte.

Le date delle prove parziali scritte sono reperibili sul sito web del corso di laurea.

Struttura delle prove parziali scritte.

In ciascuna prova parziale verranno proposti quattro esercizi e la durata è di 120 minuti. 

Valutazione delle prove parziali scritte.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova parziale scritta è pari a 30/30. La prova parziale scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, lo Studente viene ammesso con riserva alla prova orale e la Commissione d’Esame potrà richiedere preliminarmente lo svolgimento di qualche esercizio.  

Prova orale.

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso”). Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame.

Gli elementi di valutazione della prova orale sono i seguenti: pertinenza, correttezza e completezza delle risposte rispetto alle domande formulate, presentazione rigorosa delle definizioni e dei teoremi, esposizione delle dimostrazioni dei teoremi laddove previste, capacità di fornire esempi e controesempi, chiarezza e rigore logico nell’esposizione. 

Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nelle prove parziali scritte e della valutazione della prova orale.

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale

In tale modalità, viene proposta un’unica prova scritta che verte sui contenuti dell’insegnamento e, se superata, lo studente dovrà sostenere una prova orale. Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea. 

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti quattro esercizi e la sua durata è di 120 minuti. 

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, lo Studente viene ammesso con riserva alla prova orale e la Commissione d’Esame potrà richiedere preliminarmente lo svolgimento di qualche esercizio.  

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso”).

Gli elementi di valutazione della prova orale sono i seguenti: pertinenza, correttezza e completezza delle risposte rispetto alle domande formulate, presentazione rigorosa delle definizioni e dei teoremi, esposizione delle dimostrazioni dei teoremi laddove previste, capacità di fornire esempi e controesempi, chiarezza e rigore logico nell’esposizione. 

Criteri per l’assegnazione del voto finale.

Tramite le prove scritte e la prova orale si esaminerà la comprensione degli argomenti oggetto dell'insegnamento e la relativa proprietà di linguaggio. Condizione necessaria per il superamento dell'esame è l'esposizione compiuta e corretta di definizioni, enunciati ed esempi. La verifica dell'acquisizione dei contenuti verte anche sulle dimostrazioni dei teoremi, laddove previste.

Il voto finale è espresso in trentesimi in accordo al seguente prospetto:

• NON SUPERATO (<18): lo studente dimostra una conoscenza scarsa e frammentaria della materia, manifesta gravi errori di comprensione e non espone in maniera accettabile i contenuti della materia;
• 18-21: lo studente dimostra una limitata conoscenza e una basilare comprensione della materia, espone in modo poco chiaro e con poca precisione;
• 22-24: lo studente dimostra un'accettabile conoscenza e un'essenziale comprensione della materia, espone in maniera corretta ma non totalmente strutturata;
• 25-27: lo studente dimostra un'ampia conoscenza e una comprensione adeguata della materia, espone in maniera corretta ma non completa;
• 28-29: lo studente dimostra una conoscenza approfondita e una solida comprensione della materia, espone in maniera chiara e strutturata;
• 30-30 e lode: lo studente dimostra una conoscenza completa e dettagliata e una comprensione eccellente della materia, espone in maniera chiara e strutturata.

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina, l’esposizione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti dell'insegnamento di Analisi Matematica II sono le seguenti:

• Calcolo di limiti di funzioni reali di più variabili reali, studio della continuità, della derivabilità e della differenziabilità delle funzioni reali di più variabili reali.
• Ricerca degli estremi locali liberi e vincolati di funzioni reali di più variabili reali.
• Ricerca degli estremi globali di funzioni reali di più variabili reali.
• Calcolo di integrali doppi e di integrali tripli.
• Calcolo di integrali curvilinei.
• Calcolo di integrali di superficie e di integrali di flusso.
• Studio della conservatività di un campo vettoriale e ricerca dei potenziali di un campo conservativo. Analogamente: studio dell’esattezza di una forma differenziale e ricerca delle primitive di una forma differenziale esatta.
• Calcolo di integrali curvilinei di campi vettoriali (risp., di forme differenziali).
• Studio della convergenza di una serie di potenze.