ANALISI MATEMATICA IModulo Modulo B
Anno accademico 2025/2026 - Docente: ANDREA ORAZIO CARUSORisultati di apprendimento attesi
L’insegnamento di Analisi Matematica I - Modulo B si propone di fornire le conoscenze di base sul calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale, su alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie e sulle serie numeriche.
In particolare, gli obiettivi del suddetto insegnamento, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:
- Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
- Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
- Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei testi consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
- Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.
Contributo dell'insegnamento agli obiettivi dell'Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile: Istruzione di qualità. Fornire un’educazione di qualità, equa e inclusiva, promuovere opportunità di apprendimento permanente per tutti.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L’insegnamento di Analisi Matematica I (12 CFU) per il Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale si articola in due moduli: Analisi Matematica I – Modulo A (6 CFU) e Analisi Matematica I – Modulo B (6 CFU).
Sono previste lezioni di teoria ed esercitazioni relative agli argomenti svolti. Le lezioni di teoria e le esercitazioni si svolgeranno in modalità frontale.
Relativamente al Modulo B dell’insegnamento, sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (prevalentemente esercitazioni).
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma (vedasi "Contenuti del corso") previsto e riportato nel presente Syllabus.
Prerequisiti richiesti
Padronanza dei contenuti di Aritmetica, Algebra, Elementi di Geometria Euclidea piana e solida, Geometria Analitica, Trigonometria, previsti dai programmi ministeriali delle scuole secondarie di secondo grado per i licei scientifici.
Frequenza lezioni
Contenuti del corso
- Calcolo Integrale
- Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali fratte. Integrali trigonometrici. Integrali di funzioni irrazionali.
- Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale secondo Riemann. Integrale esteso ad un intervallo orientato. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale.
- Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
- Equazioni differenziali ordinarie.
- Definizioni di base.
- Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti.
- Serie numeriche.
- Definizioni di base. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche. Criteri di convergenza per tutte le serie numeriche: aggiunta, eliminazione e modifica di un numero finito di termini di una serie numerica, algebra delle serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, regolarità delle serie numeriche a termini non negativi.
- Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice. Un criterio di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy e sue applicazioni (serie armonica generalizzata, serie di Bertrand, etc.). Criterio di Maclaurin e sue applicazioni.
- Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz e suoi corollari.
- Criterio della convergenza assoluta. Serie prodotto secondo Cauchy.
Testi di riferimento
Vengono passate agli studenti delle dispense: si rimanda alla "Programmazione del corso" per i dettagli. Analogamente vengono passate delle raccolte di esercizi svolti, e compiti svolti degli anni accademici precedenti, nei quali lo studente troverà esattamente le tipologie di esercizi assegnati in sede di prova scritta.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | "Serie numeriche a termini reali o complessi" (Ore previste: Teoria 6 - Esercizi 10). | Dispensa "Serie numeriche a termini reali o complessi": Definizione di serie numerica a termini reali o complessi, serie numeriche regolari, serie numeriche convergenti, serie numeriche indeterminate, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica, criterio di Cauchy espresso in termini delle somme parziali, resto di una serie e carattere della serie in termini del carattere di una serie resto, algebra delle serie numeriche convergenti, algebra delle serie numeriche regolari, serie numeriche a termini reali non negativi, criterio del confronto e versione asintotica, approssimazione delle somme parziali della serie armonica con il logaritmo, criterio del confronto asintotico con la serie armonica, criterio del rapporto e versione asintotica, criterio della radice e versione asintotica, criterio di Raabe-Duhamel (SD), criterio di condensazione di Cauchy (SD), definizione di assoluta convergenza e relazione con la nozione di semplice convergenza, riarrangiamento dei termini di una serie e proprietà commutativa delle serie assolutamente convergenti (SD), definizione di serie a segni alterni e criterio di Leibniz (SD), formula di sommazione per parti sulle somme finite (F), formula di sommazione per parti (F), criterio di Abel-Dirichlet (F), serie prodotto secondo Cauchy, teoremi sulla convergenza della serie prodotto (SD). |
| 2 | "Esponenziale complesso" (Ore previste: Teoria 3 - Esercizi 1). | Dispensa "Esponenziale complesso": Definizione di esponenziale complesso mediante le serie numeriche, proprietà dell’esponenziale complesso, applicazione della forma esponenziale, formule di adddizione e duplicazione ricavate mediante l’esponenziale complesso, rappresentazione delle funzioni seno e coseno in termini dell’esponenziale complesso, applicazione della formula del binomio di Newton (SD), potenze n-esime di seno e coseno (S), derivata di una funzione esponenziale nel campo complesso. |
| 3 | "Integrazione indefinita" (Ore previste: Teoria 4 - Esercizi 10). | Dispensa "Integrazione indefinita": Definizione di primitiva di una funzione e caratterizzazione delle primitive, rappresentazione delle primitive, definizione di integrale indefinito, condizione sufficiente per la non esistenza di primitive e relativo esempio di funzione non continua che ammette primitive, funzioni esprimibili mediante funzioni elementari, esempi di funzioni dotate di primitiva non esprimibile elementarmente, regole integrazione indefinita. Metodi vari di integrazione indefinita. |
| 4 | "Equazioni differenziali" (Ore previste: Teoria 6 - Esercizi 6). | Dispensa "Equazioni differenziali": Definizione di equazione differenziale ordinaria di ordine 1 e, in forma normale, con problema di Cauchy, considerazioni geometriche al problema di Cauchy con l’equazione in forma normale, definizione di equazione differenziale ordinaria di ordine n e, in forma normale, con problema di Cauchy, equazioni differenziali a variabili separate, cenni sulle equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n, spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione differenziale ordinaria lineare di ordine n omogenea, metodi risolutivi per le equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine, e di ordine n a coefficienti costanti, metodo della variazione delle costanti. |
| 5 | "Integrazione definita" (Ore previste: Teoria 9 - Esercizi 3). | Dispensa "Integrazione definita": Partizione di un intervallo, partizione standard, somme inferiori e superiori e loro proprietà, funzioni integrabili secondo Riemann, condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità secondo Riemann (S), somme di Riemann, ampiezza di una partizione, caratterizzazione dell’integrabilità secondo Riemann (SD), teorema della media integrale, proprietà integrale esteso, integrale definito, proprietà integrale definito, condizioni sufficienti per l’integrabilità, funzione integrale, osservazione sulla definizione di funzione integrale, lipschitzianità della funzione integrale (F), teorema di Torricelli, condizione sufficiente per l’esistenza delle primitive, teorema fondamentale del calcolo integrale e corollario, formule di integrazione definita per parti e per sostituzione, definizione varie di integrale improprio ed esempi vari, funzioni sommabili secondo Riemann, integrale nullo di funzioni a segno costante, funzioni di riferimento per l’integrabilità impropria, criterio del confronto per la sommabilità secondo Riemann, criterio del confronto asintotico per la sommabilità secondo Riemann. |
| 6 | NOTA BENE: Degli argomenti denotati con (SD) va studiato solamente l’enunciato, gli argomenti denotati con (F) sono facoltativi, sono proposti esclusivamente come approfondimento personale, e non sono oggetto di esame scritto o orale. Degli argomenti denotati con (S) chi lo desidera puo’ studiarne solamente l’enunciato: in tal caso, dichiarandolo subito in sede di prova orale, è possibile raggiungere un voto finale massimo di 27/30. Per poter raggiungere 30/30, ed eventualmente la lode, degli argomenti denotati con (S) va invece studiata anche la dimostrazione. |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prove di autovalutazione
Durante i periodi di Attività Formativa possono essere somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.
Struttura dell'esame
L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità:
Modalità 1: due prove intermedie scritte e una prova orale unica.
Modalità 2: una prova scritta unica e una prova orale unica.
Segue la descrizione delle modalità d’esame.
Modalità 1:
La Modalità 1 prevede quattro prove intermedie scritte: due a conclusione del Modulo A (relative ai contenuti dimostrati nel modulo A), due a conclusione del Modulo B (relative ai contenuti dimostrati nel modulo B). È possibile sostenere la prova scritta relativa al Modulo B solo se è stata superata la prova scritta relativa al modulo A. Superate entrambe le prove intermedie scritte, lo studente dovrà sostenere una prova orale.
Date delle prove intermedie scritte.
Sono previste due date utili per la prova intermedia scritta relativa al Modulo A al termine del primo periodo didattico e due date utili per la prova intermedia scritta relativa al Modulo B al termine del secondo periodo didattico (prima della pausa estiva). Le date delle suddette prove intermedie verranno concordate in aula con gli studenti.
Struttura delle prove intermedie scritte.
In ciascuna prova intermedia, Modulo A e Modulo B, verranno proposti tre esercizi, lo studente dovrà svolgerne correttamente almeno due (tra cui lo studio di funzione), la durata è di 90 minuti (un ora e mezza).
Valutazione delle prove intermedie scritte.
Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. La prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Ad ogni esercizio verrà attribuita una valutazione qualitativa con relativo punteggio. Il punteggio massimo verrà assegnato se lo svolgimento è corretto, in caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà determinato in base agli errori commessi. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse lievemente al di sotto della sufficienza (ovvero inferiore a 18), la commissione d’esame potrà ammettere lo studente alla prova orale con riserva e potrà richiedere preliminarmente lo svolgimento di qualche esercizio.
Prova orale.
La prova orale verte esattamente sugli argomenti riportati nel programma (si vedano le sezioni "Contenuti del corso" relative sia al Modulo A che al Modulo B) e può essere effettuata dopo aver superato entrambe le prove scritte relative ai moduli A e B, in date che di norma vengono concordate con gli studenti. NOTA BENE: degli argomenti denotati con (SD) va studiato solamente l’enunciato, gli argomenti denotati con (F) sono facoltativi, sono proposti esclusivamente come approfondimento personale, e non sono oggetto di esame scritto o orale. Degli argomenti denotati con (S) chi lo desidera puo’ studiarne solamente l’enunciato: in tal caso, dichiarandolo subito in sede di prova orale, è possibile raggiungere un voto finale massimo di 27/30. Per poter raggiungere 30/30, ed eventualmente la lode, degli argomenti denotati con (S) va invece studiata anche la dimostrazione. Ovviamente nella determinazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame ex novo, seguendo la Modalità 2.
Modalità 2: prova scritta unica e prova orale
In tale modalità, viene proposta un’unica prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, se superata, lo studente dovrà sostenere una prova orale, in date che di norma vengono concordate con gli studenti. NOTA BENE: anche in tal caso, degli argomenti denotati con (SD) va studiato solamente l’enunciato, gli argomenti denotati con (F) sono facoltativi, sono proposti esclusivamente come approfondimento personale, e non sono oggetto di esame scritto o orale. Degli argomenti denotati con (S) chi lo desidera puo’ studiarne solamente l’enunciato: in tal caso, dichiarandolo subito in sede di prova orale, è possibile raggiungere un voto finale massimo di 27/30. Per poter raggiungere 30/30, ed eventualmente la lode, degli argomenti denotati con (S) va invece studiata anche la dimostrazione.
Date degli Appelli.
Le date degli Appelli relative alle prove scritte sono reperibili nel sito web del corso di laurea.
Struttura della prova scritta unica.
Nella prova scritta unica verranno proposti sei esercizi, tre relativi al Modulo A e tre relativi al Modulo B, lo studente dovrà svolgerne correttamente quattro - tra cui lo studio di funzione -, almeno due relativi al Modulo A ed almeno due relativi al Modulo B: la durata di tale prova è di 120 minuti (due ore).
Prova orale e voto finale
La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus relativo al Modulo A e del Syllabus relativo al Modulo B). NOTA BENE: degli argomenti denotati con (SD) va studiato solamente l’enunciato, gli argomenti denotati con (F) sono facoltativi, sono proposti esclusivamente come approfondimento personale, e non sono oggetto di esame scritto o orale. Degli argomenti denotati con (S) chi lo desidera puo’ studiarne solamente l’enunciato: in tal caso, dichiarandolo subito in sede di prova orale, è possibile raggiungere un voto finale massimo di 27/30. Per poter raggiungere 30/30, ed eventualmente la lode, degli argomenti denotati con (S) va invece studiata anche la dimostrazione.
Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale. Qualora lo studente non superasse la prova orale o decidesse di non presentarsi alla convocazione, sarà necessario sostenere l’esame ex novo, sostenendo nuovamente la prova scritta.
Criteri per l’assegnazione del voto finale.
Tramite le prove scritte e la prova orale si esaminerà la comprensione degli argomenti oggetto dell'insegnamento e la capacità di esporre i concetti matematici in maniera chiara, preferibilmente mediante una esposizione rigorosa dei concetti, ma anche mediante una ragionevole presentazione dei concetti compresi, corredati da opportuni esempi e controesempi. L'esposizione rigorosa e corretta delle definizioni, con relativi esempi, è necessaria, così come una buona capacità di presentare le dimostrazioni dei teoremi richiesti.
Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.
Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere, in accordo alle indicazioni di Ateneo. In tal caso, la durata delle prove scritte potrebbe essere soggetta a variazione.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame. La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, etc.).
Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo A dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
- Determinazione della primitiva di una funzione verificante una condizione.
- Studio della convergenza di integrali impropri e calcolo di integrali impropri.
- Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale ordinaria.
- Determinazione dell'integrale di una equazione differenziale ordinaria verificante una condizione.
- Studio del carattere di serie numeriche.