NUMERICAL METHODS FOR ELECTROMAGNETIC FIELDS AND CIRCUITS

Descrizione del Corso

Il corso fornisce gli strumenti teorici e metodologici per l'analisi numerica dei campi elettromagnetici e per la modellazione di strutture elettromagnetiche mediante tecniche di discretizzazione spaziale e spazio-temporale. Dopo un richiamo ai fondamenti dell'elettromagnetismo classico, vengono introdotti i principali metodi numerici per la soluzione di problemi di campo, con particolare attenzione al Metodo degli Elementi Finiti (FEM), al Metodo delle Differenze Finite (FDM), al Metodo degli Elementi di Contorno (BEM) e ai metodi ibridi. Il corso affronta inoltre applicazioni all'elettromagnetismo computazionale, all'impiego di software CAD elettromagnetici e alla teoria delle linee di trasmissione, fornendo agli studenti gli strumenti necessari per affrontare problemi di progettazione e simulazione in ambito elettrico ed elettronico.

Risultati di Apprendimento

Al termine del corso lo studente sarà in grado di:

Conoscenza e Comprensione

• Descrivere i fondamenti teorici dell'elettromagnetismo classico e delle principali formulazioni dei problemi di campo.
• Comprendere i principi matematici alla base della discretizzazione spaziale e spazio-temporale dei problemi elettromagnetici.
• Comprendere i fondamenti teorici dei principali metodi numerici per la soluzione di problemi di campo (FDM, FEM, BEM e metodi ibridi).
• Comprendere le formulazioni variazionali e differenziali impiegate nella discretizzazione dei problemi elettromagnetici.
• Comprendere i modelli delle linee di trasmissione e le principali applicazioni dell'elettromagnetismo computazionale.

Capacità Applicative

• Formulare modelli matematici di problemi elettromagnetici mediante equazioni differenziali e integrali.
•  Applicare i principali metodi numerici (FDM, FEM, BEM e metodi ibridi) alla soluzione di problemi di campo.
•  Utilizzare strumenti CAD per la simulazione e l'analisi di dispositivi e strutture elettromagnetiche.
•  Analizzare linee di trasmissione nei domini del tempo, della frequenza e in regime sinusoidale.
• Interpretare criticamente i risultati numerici, valutandone accuratezza, convergenza, limiti di validità e significato fisico.

Autonomia di Giudizio

• Selezionare il metodo numerico più appropriato in funzione del problema da analizzare.
• Valutare criticamente l'affidabilità delle soluzioni numeriche ottenute.
• Analizzare le cause di eventuali discrepanze tra risultati teorici e simulazioni numeriche.

Abilità Comunicative

• Utilizzare correttamente la terminologia dell'elettromagnetismo computazionale.
• Presentare in forma scritta e orale modelli matematici, procedure numeriche e risultati delle simulazioni.
• Comunicare con linguaggio tecnico appropriato metodologie, risultati e limiti delle tecniche di analisi elettromagnetica.

Capacità di Apprendimento

• Sviluppare capacità di analisi e problem solving nella modellazione di problemi elettromagnetici.
• Sviluppare autonomia nell'apprendimento e nell'utilizzo di strumenti numerici, ambienti CAD e software di simulazione elettromagnetica.
• Consolidare un metodo di studio idoneo ad affrontare tematiche avanzate dell'elettromagnetismo computazionale e della progettazione assistita dal calcolatore.

L'insegnamento prevede lezioni frontali dedicate alla presentazione dei fondamenti teorici dell'elettromagnetismo computazionale e dei principali metodi numerici per l'analisi dei campi (Didattica Erogativa), affiancate da esercitazioni numeriche e attività di laboratorio svolte mediante software CAD elettromagnetici (Didattica Interattiva). Le esercitazioni consentono agli studenti di applicare le metodologie studiate alla soluzione di problemi di campo e all'analisi di linee di trasmissione, sviluppando le competenze previste nei risultati di apprendimento.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Di seguito il programma completo. La parte impartita dal prof. Laudani è 2. elettromagnetismo computazionale.

- Campi scalari e campi vettoriali. Operatori differenziali e operatori integrali. Domini a connessione semplice e a connessione multipla. Teorema generalizzato del gradiente, della divergenza e del rotore. Campi conservativi e campi solenoidali; potenziali scalari e potenziali vettori; teorema di Helmholtz. Sistemi di coordinate curvilinee ortogonali. Lemmi e formule di Green. Funzioni armoniche e loro principali proprietà. Problemi di valori al contorno per l’equazione di Poisson; teorema di rappresentazione; tipi di potenziali e loro proprietà. Funzione di Green per problemi di valori al contorno di tipo Dirichlet e di tipo Neumann.

2. Elettromagnetismo computazionale.
- Metodi numerici per il calcolo di campi elettromagnetici. (1 ora teoria; 1 ora esercitazione/laboratorio)
- Il Metodo delle Differenze Finite (Finite Difference Method, FDM) (2 ore teoria; 4 ore esercitazione/laboratorio)
- Il Metodo degli Elementi (Finiti Finite Element Method, FEM). Discretizzazione del dominio; elementi finiti triangolari scalari lineari, funzioni di forma, coordinate locali, simplesso standard. Formulazione variazionale dell’equazione scalare di Poisson. Matrice di Dirichlet e matrice metrica di un elemento finito. Condizioni al contorno di tipo di Dirichlet, di tipo Neumann e di tipo Robin. Valutazione di quantità integrali (flussi, energie, forze). Elementi triangolari di ordine superiore. Elementi quadrangolari ed esaedrali (2 ore teoria; 4 ore esercitazione/laboratorio)
- Il Metodo degli Elementi di Contorno (Boundary Element Method, BEM). Integrazione di funzioni singolari; Metodi ibridi (Hybrid Methods, HMs). I metodi FEM-BEM e FEM-DBCI (Dirichlet Boundary Condition Iteration); Elementi Finiti Vettoriali di tipo edge.; Metodi FDM e FEM nel dominio del tempo (2 ore teoria).

- Uso di CAD elettromagnetici (8 ore esercitazione/laboratorio)

3. Elettromagnetismo.

- La carica elettrica e le sue proprietà.
- Campo elettrico stazionario. Proprietà globali e proprietà locali del campo elettrico nel vuoto. Potenziale scalare elettrico. Campo elettrico e potenziale elettrico di una distribuzione di cariche. Campo elettrico nei conduttori. Induzione elettrostatica. Coefficienti di capacità e coefficienti di potenziale, propri e parziali, di un sistema di conduttori; schermi elettrostatici. Rete equivalenti di capacitori. Capacitore. Esempi di calcolo di capacità. Energia del campo elettrico. Sollecitazioni meccaniche su cariche e conduttori. Polarizzazione di un dielettrico, vettore intensità di polarizzazione. Campo elettrico nella materia; vettore spostamento elettrico. Forma e denominazione delle equazioni costitutive. Cenni ai fenomeni dissipativi nei dielettrici: angolo di perdita, effetto corona; rigidità dielettrica e fenomeni di scarica nei dielettrici.
- Campo di corrente stazionario. Corrente elettrica di conduzione, di convezione, di avvezione, di diffusione; generatori di forza elettromotrice. Vettore densità di corrente. Proprietà globali e proprietà locali del campo di corrente. Forma e denominazione delle equazioni costitutive; legge di Ohm per le grandezze specifiche, campo elettromotore. Calcolo del campo di corrente stazionario in mezzi lineari. Legge di Joule per le grandezze specifiche e bilancio energetico. Conduttanze e resistenze, proprie e parziali, di un sistema di conduttori; rete equivalente di resistori. Esempi di calcolo di resistenze.
- Campo magnetico stazionario. Proprietà globali e proprietà locali del campo magnetico nel vuoto. Equazione vettoriale di Poisson; legge di Biot-Savart. Potenziale scalare magnetico. Energia del campo magnetico. Matrice delle induttanze di un sistema di conduttori. Induttanza interna ed induttanza esterna di un conduttore. Esempi di calcolo di induttanze. Campo magnetico nella materia; vettore intensità di magnetizzazione. Forma e denominazione delle equazioni costitutive. Mezzi diamagnetici, paramagnetici e ferromagnetici. Curva di prima magnetizzazione; permeabilità normale, incrementale e differenziale; ciclo di isteresi, magneti permanenti. Circuiti magnetici. Tubo di flusso. Legge di Hopkinson, riluttanza, cifra di perdita, circuito elettrico equivalente. Sollecitazioni meccaniche sui conduttori.
- Campo magnetico quasi-stazionario. Equazione della diffusione del campo magnetico nei conduttori; effetto pelle e di prossimità, profondità di penetrazione; semispazio conduttore, lamina conduttrice, conduttore di sezione circolare. Correnti indotte.
- Campo elettromagnetico. Proprietà globali, per domini fissi e mobili, del campo elettromagnetico. Legge di Faraday-Neumann-Lenz; forza elettromotrice indotta dinamica e mozionale. Legge di Ampere-Maxwell; corrente di spostamento. Proprietà locali del campo elettromagnetico; equazioni di Maxwell, condizioni di interfaccia e condizioni di regolarità all'infinito. Potenziali elettromagnetici; condizioni ausiliarie (di gauge). Equazioni d'onda dei potenziali. Energia e sollecitazioni meccaniche del campo elettromagnetico; vettore e teorema di Poynting. Onde elettromagnetiche uniformi; propagazione di onde piane e di onde sferiche in mezzi materiali. Campo elettromagnetico sinusoidale. Equazione di Helmholtz; soluzione, condizioni al contorno e condizione di radiazione. Onde piane monocromatiche; relazione di dispersione, tipi di polarizzazione. Vettore e teorema di Poynting complesso.
- Deduzione del modello Circuitale di un sistema elettrico. Leggi di Kirchhoff.
- Elementi di conversione elettromeccanica dell’energia.

4. Linee di trasmissione.

- Modello Linea di Trasmissione. Propagazione libera e propagazione guidata; sistemi a parametri distribuiti e modi di propagazione. Assunzioni, deduzione e limiti di validità del modello Linea di Trasmissione. Linee a due conduttori, linee uniformi, linee non distorcenti, linee ideali. Calcolo dei parametri primari di una linea coassiale.
- Analisi nel dominio del tempo. Sistema di equazioni del primo ordine, equazioni del secondo ordine; condizioni iniziali e condizioni ai limiti. Bilancio energetico di una linea. Studio delle linee non distorcenti e delle linee ideali; velocità di gruppo e velocità di fase; forma, proprietà e interpretazione fisica delle soluzioni. Casi di studio elementari di linee ideali con terminazioni bipolari. Cenni alle linee multiconduttore.
- Analisi nel dominio della pulsazione. Equazioni delle linee nel dominio della pulsazione; parametro di propagazione e impedenza caratteristica. Forma, proprietà e interpretazione fisica delle soluzioni. Impedenza, ammettenza, coefficiente di riflessione, coefficiente di trasmissione. Rappresentazioni immettenza, di trasmissione, di diffusione. Studio delle linee non distorcenti di lunghezza finita. Linea adattata. Casi di studio elementari di linee ideali con terminazioni resistive.
- Analisi di linee in regime sinusoidale. Deduzione delle equazioni e delle proprietà delle linee in regime sinusoidale dalle analoghe valide nel dominio della pulsazione. Studio delle linee non distorcenti; andamento della tensione e andamento della corrente, ROS, linee a λ/2, linee a λ/4. Casi di studio elementari di linee ideali con terminazioni bipolari. Bilancio energetico. Diagramma di Smith e suo uso; adattamento di una linea mediante stub.

Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile

Gli argomenti trattati nel corso e le conoscenze acquisite sono direttamente o indirettamente funzionali allo sviluppo di soluzioni tecnologiche sostenibili, oltre che contribuire ad una formazione di qualità, in accordo con gli obiettivi 4, 7, 9, 11, 12, 13 dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile.

1.	P. P. Silvester, R. L. Ferrari: “Finite elements for electrical engineers”, 3rd edition, Cambridge University Press, 2003.
2.	Jian-Ming Jin: The Finite Element Method in Electromagnetics, 3rd Edition, Wiley-IEEE Press, 2014
3.	S. Alfonzetti: " Dispense del corso sui metodi numerici".
4.	A. Laudani: “Dispense del corso”

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

Gli studenti con disabilità e/o disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) hanno il diritto di richiedere un colloquio personale con il docente per programmare misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici dell'insegnamento e alle specifiche esigenze individuali. Per informazioni e supporto, gli studenti possono contattare il CInAP (Centro per l'Integrazione Attiva e Partecipata) del Dipartimento di riferimento.