ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ps - Z

Si intende introdurre lo studente al linguaggio e al rigore necessari per lo studio dei concetti essenziali inerenti l'Algebra Lineare e la Geometria Analitica.

Lo studente affronterà vari aspetti teorici degli argomenti trattati, affinando le capacità logiche allo scopo di utilizzare con rigore alcuni significativi metodi dimostrativi. Tali dimostrazioni saranno presentate in modo tale da cogliere ogni passaggio necessario al raggiungimento dell'obiettivo. Studiando l'algebra lineare e la geometria e mettendosi alla prova tramite esercitazioni, lo studente apprenderà come utilizzare un linguaggio corretto al fine di comunicare con rigore e chiarezza in ambito scientifico.

Al termine del corso lo studente avrà sviluppato conoscenze riguardo la teoria degli spazi vettoriali di dimensione finita, calcolo matriciale, risoluzione di sistemi lineari, applicazioni lineari, calcolo di autovalori e autovettori, diagonalizzazione di matrici, rette e piani nello spazio, coniche e quadriche.
Lo studente saprà studiare la dimensione e determinare una base di un dato spazio vettoriale, saprà studiare le proprietà di una mappa lineare, sarà in grado di determinare gli autovalori e gli autovettori di un endomorfismo, quindi diagonalizzare, ove possibile, una matrice quadrata quadrata. Inoltre sarà in grado di detrminare le equazioni degli enti lineari nel piano e nello spazio soddisfacenti opportune condizioni e saprà classificare dall'equazione una data conica o quadrica data.

Durante le lezioni frontali verranno presentati gli argomenti da un punto di vista formale. Tramite lezioni partecipate gli studenti saranno invitati a svolgere esercizi.

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria.

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.

Algebra Lineare:

1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine, iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture geometriche: gruppi, anelli, campi.
2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante componenti.
3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle soluzioni.
6. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata. Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.
7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività, suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

Geometria:

1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni. Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani. Distanze. Fasci di piani.
3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.

Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.

1. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare con Esercizi Svolti. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.
2. Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000. Download disponibile gratuitamente al link http://www.giuseppepaxia.it/Prof_Paxia/Home_files/px.pdf

La prova d'esame è composta da una prova scritta (durata 3 ore) e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30).
Verranno proposti uno o più quesiti a risposta aperta riguardanti sia la parte di Algebra lineare che la parte di Geometria.

Sono previste due prove in itinere (dentrambe della durata di 2 ore, superamento della prova con 15/30), ciascuna indipendente dall'altra, una per ogni parte del corso svolto. Il superamento di entrambe consente di accedere all'orale. Lo studente che abbia superato una sola delle due prove in itinere potrà svolgere la prova non superata negli appelli regolari (entro la fine dell'a.a.). In caso di esito positivo lo studente è ammesso all'esame orale.

Esercizi di Algebra Lineare

1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della semplicità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando possibile, una base di autovettori. Diagonalizzazione matrici.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del parametro.
4. Esercizi su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte, restrizioni ed estensioni.

Esercizi di Geometria

1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una conica.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Studio di una conica intersezione di una quadrica con un piano. Ricerca vertici quadriche.