ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A - Co

Anno accademico 2021/2022 - 1° anno
Docente: Angelo Ariosto
Crediti: 9
SSD: MAT/03 - Geometria
Organizzazione didattica: 225 ore d'impegno totale, 146 di studio individuale, 49 di lezione frontale, 30 di esercitazione
Semestre:
ENGLISH VERSION

Obiettivi formativi

1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): definizioni e teoremi riguardanti i concetti fondamentali degli spazi vettoriali, applicazioni lineari ed endomorfismi, costruzioni di base e teoremi riguardanti rette e piani nello spazio e le coniche nel piano, definizioni e teoremi inerenti la classificazione delle quadriche.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): saper calcolare il rango di una matrice, con o senza parametro, sapere studiare uno spazio vettoriale, sapere fare lo studio di un'applicazione lineare, saper determinare autovalori e autovettori di endomorfismi, sapere fare la diagonalizzazione di una matrice, essere in grado di risolvere problemi di geometria lineare inerenti punti, rette e piani nello spazio, sapere classificare le coniche e le quadriche e studiare i fasci di coniche nel piano.

3. Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati e alla fine del corso sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi. Sarà, inoltre, fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

4. Abilità comunicative (communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico e ad acquisire il linguaggio specifico dell'algebra lineare e della geometria. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

5. Capacità di apprendimento (learning skills): Il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari nel prosieguo degli studi. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi
significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente
esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. A. Pagano.


Prerequisiti richiesti

Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria. Regola di Ruffini


Contenuti del corso

Algebra Lineare:
1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine,
iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture
geometriche: gruppi, anelli, campi.
2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto
scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante
componenti.
3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri
complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi.
Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli
scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio
vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi
lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di
Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle
soluzioni.
6. Determinanti e loro proprietà. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata.
Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.
7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività,
suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni
lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli
autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.
Geometria:
1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni.
Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro
equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani.
Distanze. Fasci di piani.
3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti
ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle
coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di
coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni
e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione
delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.


Testi di riferimento

1. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
2. G.Paxia: Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.
3. .P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.
4. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Introduzione alla teoria degli insiemi. Introduzione ai campi e spazi vettoriali. Determinante di una matrice. Calcolo del rango e riduzione di una matrice. Risoluzione dei sistemi lineari. Tempo richiesto: 9 oreLibro di teoria: capitoli 1,3 Libro di esercizi: capitolo 1 
2Operazioni con le matrici. Tempo richiesto: 2 oreLibro di teoria: capitolo 3 Libro di esercizi: capitolo 1 
3Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Tempo richiesto: 9 oreLibro di teoria: capitolo 2 Libro di esercizi: capitolo 2 
4Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base da un sistema di generatori e completamento a base di un insieme libero. Tempo richiesto: 2 oreLibro di teoria: capitolo 2 Libro di esercizi: capitolo 2 
5Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione lineare. Calcolo di immagini e controimmagini. Tempo richiesto: 10 oreLibro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitoli 3,4 
6Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 oreLibro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo ,5 
7Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice. Tempo richiesto: 9 oreLibro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 6 
8Applicazioni sotto condizione. Restrizioni ed estensioni di applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore.Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitoli 7,8 
9Generalità sul calcolo vettoriale. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Assegnazione di una retta e di un piano e loro equazioni. Punti impropri. Intersezioni. Parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette e piani. Distanze. Tempo richiesto: 10 oreLibro di teoria: capitoli 1, 2, 3 Libro di esercizi: capitolo 1 
10Angoli. Proiezioni ortogonali. Rette bisettrici e piani bisettori. Simmetrie. Luoghi di rette. 3 oreLibro di teoria: capitoli 1, 2, 3 Libro di esercizi: capitolo 1 
11Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano, invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica. Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche. Tempo richiesto: 8 oreLibro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo 2 
12Studio completo delle coniche. Coniche sotto condizione. Tempo richiesto: 4 ore.Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo 2 
13Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di una quadrica e quadriche degeneri. Conica all’infinito. Coni e cilindri. Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Tempo richiesto: 7 ore.Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 3 
14Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere. Tempo richiesto: 2 ore.Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 3 

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO
La prova d'esame è composta da una prova scritta della durata di 3 ore e una prova orale. L'esame si considera superato se sono superate entrambe le prove.


Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Esercizi di Algebra Lineare
1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della semplicità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando
possibile, una base di autovettori.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del
parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.
4. Esercizi su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte,
restrizioni ed estensioni.
Esercizi di Geometria
1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni
ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una
conica. Coniche sotto condizione.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica
intersezione di una quadrica con un piano.