NUMERICAL METHODS FOR ELECTROMAGNETIC FIELDS AND CIRCUITS

Nella progettazione di dispositivi nei vari settori dell’ingegneria, sono utilizzate grandezze fisiche che, in genere, variano sia nello spazio che nel tempo. La complessità delle equazioni (differenziali) cui tali grandezze devono soddisfare, e’ tale da consentirne solo una risoluzione approssimata con tecniche numeriche, in cui le grandezze fisiche di interesse sono discretizzate sia spazialmente che temporalmente. Tali tecniche sono tanto importanti che si può sicuramente affermare che non esiste industria (elettronica, meccanica, aerospaziale, elettromeccanica, ecc.) o centro di ricerca di dimensioni medio-grandi che non sia dotato di strumenti CAD (Computer Aided Design) basati su di esse.

Nel corso degli studi di Ingegneria l’allievo ingegnere matura sufficienti esperienze nella discretizzazione di grandezze temporali, ma, forse, non altrettanto nella discretizzazione di grandezze spaziali o spazio-temporali.

Scopo del corso di “Metodi numerici per campi elettromagnetici e circuiti” e’ appunto quello di studiare tecniche per la discretizzazione spazio-temporale. Tali tecniche hanno una valenza che va ben al di là dell’ambito dell’Ingegneria Elettrica ed Elettronica, nella quale, peraltro, esistono diverse applicazioni in cui l’approccio circuitale e’ inappropriato, quali ad esempio il calcolo di antenne e linee di trasmissione per telecomunicazioni (cavi coassiali, guide d’onda), il calcolo del comportamento elettrico e termico di transistori di potenza e la verifica della compatibilità elettromagnetica di svariati dispositivi elettronici ed elettrici.

Il corso tratterà prevalentemente del metodo degli elementi finiti (FEM) che, ideato negli anni sessanta, ha ormai completamente soppiantato il metodo delle differenze finite e si e’ affermato come il più potente metodo numerico per la risoluzione di problemi di campo. L’idea di base del metodo consiste nel suddividere il dominio spaziale in cui occorre determinare l’andamento di alcune grandezze di interesse in un gran numero di sottodomini di forma semplice, detti appunto elementi finiti (tetraedri e parallelepipedi in 3D, oppure triangoli e parallelogrammi in 2D), in cui si presuppone che le grandezze abbiano andamenti egualmente semplici (lineare, quadratico, ecc) esprimibili in funzione dei valori assunti dalla grandezza in questione nei vertici dell’elemento finito (nodi). Questo processo di discretizzazione spaziale porta a trasformare il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali in un sistema algebrico le cui incognite sono i valori nodali. La risoluzione di tale sistema consente di ottenere una soluzione il cui grado di accuratezza cresce all’aumentare del numero di elementi finiti (ma con un conseguente maggior costo computazionale).

Un'altra parte del corso è dedicata a presentare i principali concetti e risultati della teoria delle linee di trasmissione operanti sia in regime transitorio sia in regime sinusoidale, con particolare riguardo alle linee a due conduttori. Al fine di chiarire i contenuti di questi argomenti e mettere lo studente in condizione di applicarli, nel corso delle lezioni sono svolti diversi problemi di linee di trasmissione e descritti alcuni approci numerici alla loro analisi.

Infine, il corso si propone anche di fornire una breve, ma non superficiale, introduzione alla teoria dei filtri elettrici sia passivi sia attivi e alla loro realizzazione, nonché alla teoria delle antenne e delle onde elettromagnetiche dandone le principali definizioni e i più importanti concetti.

Le conoscenze da acquisire durante il corso sono il contenuto delle lezioni frontali svolte in aula dai docenti e, al fine di agevolare lo studio personale, gli argomenti sono dettagliatamente elencati nel
programma del corso, con riferimenti espliciti alle parti in cui sono trattati nei principali testi consigliati.

Il prerequisito richiesto è aver seguito e superato un corso di base di Elettrotecnica.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria.

1. Campi elettromagnetici

Equazioni di Maxwell in forma differenziale ed in forma integrale. Campo di densità di corrente stazionario, potenziale scalare elettrico, equazione di Laplace, condizioni al contorno di tipo Dirichlet e Neumann. Campo elettrostatico, equazione di Poisson. Campo magnetostatico, potenziale vettore magnetico. Campo elettromagnetico quasi-stazionario, problemi di correnti indotte e di effetto pelle.

Metodi numerici per il calcolo di campi elettromagnetici. Il metodo delle differenze finite (FDM), postprocessamento FDM. Il metodo degli elementi finiti (FEM). Formulazione variazionale per l’equazione scalare di Poisson in 2D. Elementi triangolari del primo ordine, funzioni di forma, coordinate locali, triangolo standard. Matrici di Dirichlet e di metrica per un elemento finito. Condizioni al contorno di tipo Dirichlet, Neumann e misto. Costruzione del sistema risolvente e sua risoluzione. Valutazione di quantità integrali (flussi, energie, forze). Elementi triangolari di ordine superiore. Formule di integrazione nel triangolo standard. Matrici universali in forma razionale. Elementi triangolari a lati curvi. Elementi quadrangolari. Quadratura di Gauss per domini triangolari e quadrangolari. Elementi tetraedrali ed esaedrali. Elementi finiti vettoriali di tipo edge.

Funzione di Green per l’equazione di Poisson. Formule di Green. Il metodo degli elementi di contorno (BEM). Integrazione di funzioni singolari. Metodi ibridi: FEM-BEM e FEM-DBCI (Dirichlet Boundary Condition Iteration).

2. Linee di trasmissione

Circuiti a parametri distribuiti. Parametri di una linea bifilare. Equazioni dei telegrafisti in regime sinusoidale. Onda progressiva e regressiva. Costante di propagazione, costante di attenuazione, costante di fase, impedenza caratteristica. Coefficiente di riflessione, linea adattata. Bilancio energetico. Linee a λ/2 e a λ/4. Linee prive di perdite, rapporto d’onda stazionario (ROS). Analisi nel dominio del tempo e di Laplace. Linee multiconduttore.

3. Filtri elettrici.

Funzione caratteristica di un filtro. Filtri passa-basso, passa-alto, passa-banda ed arersta banda. Trasformazioni di frequenza; filtro passa-basso di riferimento. Approssimazioni di Butterworth e di Chebyshev. Sintesi di filtri a scala LC. Filtri attivi del primo e del secondo ordine. Cella biquadratica. Filtri di Sallen-Key. Filtri a retroazione negativa. Esempi di progetto.

4. Teoria delle antenne

Principali tipi di antenne e loro caratteristiche. Antenne a dipolo elettrico ed a dipolo magnetico. Parametri di un’antenna trasmittente: diagramma di radiazione, resistenza di radiazione, lunghezza efficace, funzioni di direttività e di guadagno. Parametri di un’antenna ricevente: area efficace, fattori di adattamento di potenza e di polarizzazione, fattore di antenna. Antenna a dipolo a λ/2 ed antenna unipolare a λ/4. Schiere di antenne.

1. P. P. Silvester, R. L. Ferrari: “Finite elements for electrical engineers”, 3rd edition, Cambridge University Press, 2003.

2. S. Alfonzetti: " Dispense del corso sui metodi numerici".

3. R. Schaumann, M. E. Van Valkenburg: "Design of analog filters". OUP, New York, 2001.

4. Wai-Kai Chen: " Passive, Active and Digital Filters. Taylor&Francis.

5. Clayton R. Paul: " Analysis of Multiconductor Lines". Wiley.

6. G. Miano, A. Maffucci: " Transmission Lines and Lumped Circuits". Academic Press.

7. G. Franceschetti: " Electromagnetics: theory, techniques and engineering paradigms". Plenum Press, New York, 1997.

8. S. Ramo, J. R. Whinnery, T. Van Duzer: "Fields and waves in communication electronics", 3rd edition, 1977.

L'esame consiste di una sola prova orale, durante la quale al candidato sono rivolte alcune domande riguardanti gli argomenti svolti a lezione dai due docenti e nella quale è discusso un elaborato di fine corso opzionalmente preparato dalla studente.

Le domande poste agli studenti durante la prova orale riguardano gli aspetti principali degli argomenti trattati a lezione: metodi numerici per il calcolo di campi elettrici e magnetici stazionari, quasi stazionari e comumque variabili, linee di trasmissione sia regime transitorio sia in regime sinusoidale, elementi della teoria dei filtri elettrici analogici sia passivi sia attivi, elementi di onde elettromagnetiche e di teoria delle antenne.